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inclusi gli estremi: gli è facile il vedere coinè essa sia altresì continua. Infatti, sia 

 c i arbitrariamente vicino a c ed entro il tratto c — vj c c, si avrà 



c, — (c — n]c) < -rie, < à -+- rie — o t , 

 inquantochè , se la oscillazione massima di /"(a?) in un certo tratto è 0', non po- 

 trà essere superiore a 0' in un segmento che fa parte di esso tratto. Quindi y ei 

 tende ad y] c quando c, tende a c — 0; in modo analogo farei vedere che vj Cl tende 

 a vj 0 quando c t converge a c -+- 0, e poiché per ù = c 1 V2 ei — ij e , vj x e una funzione 

 continua per tutti i punti di m», inclusi gli estremi. 



Questa funzione raggiunge adunque il limite inferiore dei suoi valori, che non 

 è lo zero, in quanto vj x assume per ogni valor particolare della variabile un valore 

 assegnabile e positivo. Detto / questo limite si divida mn in più parti, ciascuna 

 delle quali sia minore di 21, e si avrà decomposto mn nel modo voluto. 



5. Supposto che G 1? G 2 , ... sia ima serie determinata di gruppi, pigliamo l' in- 

 dice di G sì grande, poniamo u, in guisa che per esso e per tutti i superiori la 

 somma (k >■ 0) degli spazi, nei quali, inclusi i limiti, cadono punti di ab 



in cui 0^ a, sia arbitrariamente piccola, ammesso che sia lim SJ— 0. Egli è chiaro 



n = oo 



poi che se si ha lim S« — 0 per una serie determinata di gruppi , ciò avrà luogo 

 n = oo 



per qualsivoglia altra serie. 



Indico ora con B v / U '^~ k \ t^/" - *"^ , gli intervalli nei quali , inclusi i li- 

 miti, non cadono punti tali che O x > a. Aggruppo quindi in uno quelli tra i 

 tratti or ora accennati che hanno un estremo comune, se pur ve ne sono, e chiamo 

 r jur*-k), r ju-*-kj^ j segmenti in tal guisa ottenuti e quelli tra gli intervalli 

 5i,/ tt_t_A A ^v/ li ~*~ k \ — che non hanno punti a comune, procedendo dalla sinistra verso la 

 destra. Poi, in luogo dei tratti r/ u ~*~ k ) = x y x z , r/ u ~*~ k J =... considero i segmenti 



Xy X z 



J L 



I i 



7» 7* 



che chiamo t,, t„, ...,i punti y y , y z , ... essendo scelti in guisa che si abbia O r '<£ ff, 



Oy z <C g, ... , e così pure per tutti i punti tra y y e x yì x z e y e , Chiamo ora <p T (x) 



la funzione y x corrispondente a tutti i punti del tratto r p , i limiti inclusi, l T? il 



suo limite inferiore. Scelgo quindi tra le grandezze l Tl , U % , U v la minore di 



tutte; sia essa l Tq , faccio l' indice del gruppo G r tale, che il massimo dei tratti 

 5/ r) , 5/ r -', .... risulti minore di l T per esso e per tutti i superiori, e minore della m a 

 parte del minimo dei tratti r/ w ~*~ n ), r ì f u ~*~'0, .... y y x y , x z y z , ... , essendo m un nu- 

 mero arbitrario. La somma degli spazi nei quali la oscillazione massima è inferiore 

 a a fu resa in tal modo arbitrariamente piccola \ 



* V. Biemann, memoria citata, pag. 21 e seg. te 



