— 59 — 



Matematica. — Sulle superfìcie algebriche le cui sezioni piane 

 sono curve ellittiche. Nota di Guido Castelnuovo, presentata dal 

 Socio Cremona. 



« In un lavoro pubblicato quattro anni or sono ( l ) ho studiato le su- 

 perficie aventi come sezioni piane curve iperellittiche (di genere p ir: 1), ed 

 ho dimostrato che quelle superficie sono razionali (rappresentabili punto per 

 punto sul piano), quando sia soddisfatta la restrizione che le note formole 

 di postulazione di Nother applicate al calcolo del numero delle superficie di 

 ordine ^ n — 3 aggiunte alle superficie studiate (d'ordine n% conducano a 

 risultati conformi al vero. Una tale restrizione sembrava allora di poco mo- 

 mento ; ma vari esempi portati in seguito di superficie algebriche alle quali 

 non sono più applicabili (nel senso suddetto) le formule di postulazione, mi 

 convinsero che quel teorema non poteva riuscir veramente utile finché non 

 si fosse giunti a togliere la nominata restrizione. 



« Recentemente il sig. Enriques con un elegante procedimento potè di- 

 mostrare che effettivamente tutte le superficie non rigate aventi come sezioni 

 piane curve iperellittiche di genere £i 2, sono razionali (-). Ma come lo stesso au- 

 tore avverte, quel procedimento non si applica alle superficie aventi le se- 

 zioni piane di genere 1. La lacuna che così rimaneva viene appunto colmata 

 dalla presente Nota ; sicché ormai si può enunciare il notevole risultato che : 



« Ogni superficie non rigata le cui sezioni piane siano curve iperel- 

 littiche (di genere 1), è razionale ; mentre è noto che le rigate a sezioni di 

 genere >0 non sono certamente razionali. Quanto alle superficie (rigate o no) 

 a sezioni di genere 0, è noto, già da lungo tempo, che esse sono tutte razionali. 



« Sia F una superficie (algebrica irriduttibile), di ordine n, e non ri- 

 gata, la quale da un piano generico venga segata in una curva C di genere 1. 

 Piani particolari possono tuttavia segar la F in curve di genere 0, o in 

 curve riduttibili; però queste sezioni riduttibili non possono formare un si- 

 stema doppiamente infinito ( 3 ), sicché per una retta generica r dello spazio 

 non passa alcun piano secante la F in una curva spezzata. 



« La curva C ammette, come è noto, una unica curva aggiunta d'ordine 



[}) Sulle superficie algebriche le cui sezioni piane sono curve iperellittiche (Rendic. 

 del Circolo matem. di Palermo, tomo IV). 



( 2 ) Sui sistemi lineari di superficie algebriche le cui intersezioni variabili sono 

 curve iperellittiche n. 2 (Rendic. della R. Accad. d. Lincei, dicembre 1893). 



( 3 ) Infatti una superfìcie avente oo 2 sezioni piane riduttibili è rigata, od è la nota 

 superficie di Steiner a sezioni razionali: si veda in proposito la mia Nota, Sulle superficie 

 algebriche che ammettono un sistema doppiamente infinito di sezioni piane riduttibili 

 (Rendic. Accad. d. Lincei, gennaio 1894). 



