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n — 3 <p n ~ 3 , la quale non sega C fuori dei punti multipli di C. Si do- 

 manda anzitutto se le oo 3 curve g n - 3 che si ottengono al variare della se- 

 zione C, appartengano ad una stessa superficie d'ordine n — 3, oppure no. 



« Si considerino perciò gli oo 1 piani che passano per una retta gene- 

 rica r, e su questi le curve </>"~ 3 aggiunte alle corrispondenti sezioni piane 

 di F. Quelle curve costituiscono una superficie <P il cui ordine non è infe- 

 riore a n — 3 ; se lo supera, la 4> contiene certo la retta r. Ne viene che in 

 quest'ultima ipotesi, o le oo 1 g*"- 3 dei piani del fascio segano r in n — 3 

 punti, dei quali uno almeno varia da curva a curva (tanto che un punto 

 qualsiasi di r appartiene ad una delle g»" -3 ); oppure una (almeno) delle 



00 1 (f ,l ~ 3 si spezza nella retta r ed in una curva d'ordine n — 4; in entrambi 



1 casi si può condurre per r un tal piano che la corrispondente <p n - 3 passi 

 per una delle intersezioni di r con P. Ma allora la curva C segata su F 

 da quel piano, essendo incontrata in un punto fuori dei punti multipli dalla 

 sua curva aggiunta y> n 3 , deve spezzarsi: e ciò non è possibile, visto che r 

 è una retta generica dello spazio. Dunque la superficie 4> che contiene le 

 oo 1 (p n ~ 3 ha proprio l'ordine n — 3; ed è una superficie (P™ -3 la quale si 

 comporta come una superficie aggiunta ad F lungo le curve multiple di F, 

 (vale a dire passa q — 1 volte per ogni curva che sia multipla secondo q 

 per F), e non sega la F fuori di queste curve. Un piano qualsiasi sega <X>"~ 3 

 ed F lungo due curve y> e G d'ordini n — 3 ed n, la prima delle quali si 

 comporta come una curva aggiunta a C nei punti multipli di C, è dunque 

 la curva y n ~ 3 aggiunta a C. 



« Così resta dimostrato che le oo 3 curve (p n ~ 3 sono le sezioni piane di 

 una unica superficie <Z>"~ 3 ( 1 ). 



« Riprendiamo la curva C segata su F da un piano ti per r. La C pos- 

 siede, come è noto, oo n_1 curve aggiunte d'ordine n — 2 y> n ~ 2 , e per n — 2 

 punti arbitrari a x , a 2 :.a n - 2 di r passano oo 1 curve cp n ~ 2 ; per fissare una tra 

 queste basterà darne la tangente t in uno degli n — 2 punti, per es. in a x 

 (che possiamo supporre non sia una delle n — 3 intersezioni di r con (P"- 3 ). 

 Ora si faccia variare il piano n intorno ad r, senza che mutino i punti 

 ai , a 2 ....a n -2 , e per ogni posizione di n si assuma come retta t la interse- 

 zione del piano mobile ti con un piano fisso r condotto per a x (ma non per r). 

 Sopra ogni piano n del fascio resterà allora fissata una curva y> n - 2 (passante 

 pei punti ai;<h...a n -t e tangente a tornino,!), e le oo 1 curve g" -2 co- 

 stituiranno una superficie d'ordine non minore di n — 2. Se però l'ordine 



(*) La stessa dimostrazione può anche presentarsi così. Se le oo 3 curve 9"— 3 non appar- 

 tengono ad una stessa superficie (d'ordine n — 3, come è chiaro), esse coi loro punti inva- 

 dono lo spazio, ed anzi per ogni punto dello spazio passano 00 1 di quelle curve. Scelto 

 il punto in un punto semplice di F, si trova che per esso passano 00 1 sezioni piane di F, 

 le quali essendo segate fuori dei punti multipli dalle corrispondenti cp n ~ 3 , devono spezzarsi ; 

 e ciò è assurdo per il teorema sopra citato. 



