— 61 — 



superasse n — 2, poiché le intersezioni delle y"~ 2 con r sono fisse, vi 

 dovrebbe esser un piano per r, la cui corrispondente y ,l ~ 2 dovrebbe spez- 

 zarsi nella retta r ed in una cp"- z aggiunta a C, e passante per ai (perchè in 

 a x la <fi ìl ~ 2 ha una tangente t determinata e distinta da r). Ora una tale <p ,l ~ 3 

 non esiste perchè il punto ai si è supposto esterno alla CP"- 3 ; dunque la su- 

 perficie che contiene le oo 1 y"- 2 è proprio d'ordine n — 2, è una superficie 

 <P n ~ 2 , la quale si comporta come una superficie aggiunta ad F lungo le 

 curve multiple di F, ed è segata da ogni piano in una curva y-" -2 aggiunta 

 alla corrispondente sezione piana di F. Per ogni ^ w ~ 2 aggiunta, di un piano tt, 

 passano infinite <P"- 2 , ciascuna delle quali si ottiene colla costruzione pre- 

 cedente quando si sia segnata in tv una retta generica r, si siano collocati 

 i punti a x , a 2 .... a n - 2 nelle intersezioni di r con y M ~ 2 , e si sia assunto come 

 piano t uno tra gli oo 1 piani che toccano (f"~ 2 in a v Fissata r si hanno 

 in tal guisa oo 1 <P n - 2 , le quali però non variano al variare di r, perchè una 

 sola tra le infinite Q>"- 2 passanti per (f^ 1 contiene un ulteriore punto di jt, 

 e si spezza quindi in n e nella 3>"~ 3 . Ne viene che le <P n - 2 passanti per 

 una (p n ~ 2 formano un fascio, e che gli oo "- 1 fasci corrispondenti alle oo 

 curve (p"~ 2 aggiunte a C (i quali contengono tutti la superficie <£' 1-3 -h ti) 

 formano un sistema lineare oo n di superficie <P"- 2 , delle quali co 3 si spez- 

 zano nella tf>"~ 3 ed in un piano qualsiasi. 



* Il sistema lineare delle (P" -2 sega su F un sistema lineare co n di 

 curve d'ordine n (poiché una (f^ 2 sega la corrispondente C in n punti fuori 

 dei punti multipli), tra le quali si trovano le oo 3 sezioni piane di F. Dal 

 che segue anzitutto che le curve del sistema passanti per un punto generico 

 di F, non hanno altri punti comuni (perchè altrettanto accade per le oo 2 se- 

 zioni piane contenenti quel punto); in secondo luogo che il numero delle 

 intersezioni di due curve del sistema è n (perchè n sono le interse- 

 zioni di due sezioni piane). Riferendo dunque le oo" curve del sistema 

 proiettivamente agli oo" iperpiani S„_! di uno spazio S„ ad n dimensioni, 

 resta determinata in S» una superficie F' d'ordine n, la quale è riferita 

 punto per punto alla F, ed anzi proiettata in S 3 da un S„_ 4 conveniente- 

 mente scelto dà una superficie (proiettivamente) identica ad F. Ora è noto 

 che una superficie F' d'ordine n di S„, non rigata (chè altrimenti sarebbe 

 rigata la F contro l'ipotesi), è razionale, ed ha l'ordine k£9( 1 ). Possiamo 

 dunque asserire che: 



" Ogni superficie le cui sezioni piane siano curve ellittiche o è rigata, 

 od è razionale ; e nell'ultimo caso ha l'ordine n^E.9, ed è rappresentabile 

 sul piano mediante un sistema lineare di cubiche con 9 — n punti base sem- 

 plici, od anche (perw = 8) mediante un sistema lineare di quartiche con 

 due punti base doppi » . 



(!) Del Pezzo, Sulle superficie delVn 0 ordine immerse nello spazio di n dimensioni 

 (Eendic. Circolo matem. di Palermo, tomo I). 



