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descriva il fascio (P,tt); sempre troveremo che k — 1 intersezioni, oltre a 

 P, delle due curve fisse Ci e C 2 + . . . -h C,- devono giacere sulla retta t' 

 passante per P e tangente coniugata alla tangente variabile i. Ora se si 

 suppone k — 1 ]> 0, deve certo presentarsi uno dei due casi seguenti : o mentre 

 t descrive il fascio (P , tt), la tangente coniugata t' varia essa pure, e va- 

 riano in conseguenza le k — 1 intersezioni nominate, sicché le due curve 

 Ci e C 2 4- ■ • • + Ci hanno infiniti punti in comune, il che però abbiamo 

 dimostrato assurdo sin dal principio; oppure t' non varia al variare di t, 

 e allora il punto P (generico di P) è un punto parabolico, e la P che ha 

 tutti i suoi punti parabolici è una superficie sviluppabile (nota proprietà 

 di Geometria differenziale), mentre le sviluppabili (particolari rigate) furono 

 escluse dalle nostre ricerche. 



«Dobbiamo dunque concludere che k — 1 = 0, k = l, ossia che la 

 curva generica del sistema J\ sega in un sol punto la curva C 2 + . . . + C» . 

 Dal che segue anzitutto che i = 2 (perchè k M i — 1), e in secondo luogo 

 che coincidono i sistemi ^ , 2 Z descritti dalle curve Ci e C 2 (perchè ogni 

 curva di 2 X incontra in un sol ponto ogni curva di 2 2 ). Segue finalmente 

 che le curve Ci dell'unico sistema 2l=2 2 sono coniche, perchè una Ci è 

 segata da ciascuno degli oo 2 piani tangenti ad P in due soli punti (inter- 

 sezioni di Ci coll'una e coll'altra delle due curve di 2x che costituiscono 

 l'intersezione di P col piano tangente considerato). Sicché concludiamo che 

 la superficie P contiene un sistema doppiamente infinito di 

 coniche tali che due coniche si segano in un sol punto e per 

 due punti passa una sola conica; la sezione di P con un suo 

 piano tangente generico è costituita da due coniche del si- 

 stema passanti pel punto di contatto (e secantisi ulteriormente in 

 tre punti doppi per P). La P dunque ha l'ordine 4, ed è la nota superficie 

 di Steiner, il che appunto si doveva dimostrare. 



« Quali corollari immediati del teorema ora dimostrato possono consi- 

 derarsi ad es. una proposizione del sig. Darboux C), (secondo la quale le 

 superficie contenenti oo 2 coniche sono quadriche, o rigate cubiche, o super- 

 ficie di Steiner), ed il noto teorema dei sigg. Picard ( 2 ) e Guccia ( 3 ) il quale 

 afferma che ogni superficie di cui le sezioni piane sono curve razionali è ri- 

 gata oppure è la superfìcie di Steiner. Il teorema del presente lavoro può 

 anche giovare nello studio delle superficie a sezioni piane ellittiche, come 

 mostrerò in un'altra Nota ». 



(!) Sur le contact des courbes et des surfaces. Bulletin des Sciences Mathém. 1880. 



( 2 ) Sur les surfaces algébriques dont toutes les sections planes sont unicursales. 

 Journal fùr die r. u. a. Mathem. Bd. 100. 



( 3 ) Sulle superficie algebriche le cui sezioni piane sono curve unicursali. Eendic. 

 Circolo Matem. di Palermo, tomo I. 



Rendiconti. 1894, Voi. Ili, 1° Sem. 



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