— 24 — 



poiché altrimenti P sarebbe (punto triplo per la sezione con n e quindi) 

 punto di flesso per la curva segata su F da un piano generico per P; ma 

 essendo ■ P un punto generico di P quella curva, dovrebbe ridursi ad una 

 retta (avendo co 1 flessi) e quindi F sarebbe un piano, il che evidentemente 

 si esclude. 



« Noi ora vogliamo determinare il numero dei punti comuni a due curve 

 generiche d , C 2 l'una di 2 1 , l'altra di I 2 ■ Osserviamo anzitutto che se i 

 due sistemi algebrici co 2 2 1 e 2 2 coincidono, può ben accadere che due 

 curve Ci e C 2 abbiano una sola intersezione (certo una almeno), nel qual 

 caso per due punti generici di F passa una sola curva del sistema 2 1 = 2 2 . 

 Ma se 2 1 e 2 2 sono distinti, poiché per due punti generici di F deve pas- 

 sare almeno una curva di ^ ed una (diversa) di 2 2 , segue che due almeno 

 sono le intersezioni di C x e C 2 . Premesse queste considerazioni (che possono 

 ripetersi per due qualisivogliano dei sistemi 2 X . . . 2$ riprendiamo il piano ri 

 tangente ad F in P, e le curve Ci , C 2 . . . Ci (i ^ 2) che esso sega su F, 

 delle quali due sole C x e C 2 passano per P. Supponiamo poi che un punto 

 si muova con continuità sulla superficie F partendo da P e descrivendo una 

 curva qualsiasi y; ed insieme al punto mobile consideriamo il piano mo- 

 bile ivi tangente ad F, e le successive posizioni che su F va assumendo la 

 curva Ci al variare del piano stesso. Siano P', ri, C\ tre posizioni corrispondenti 

 dei tre elementi mobili (punto, piano, e curva). La curva C\ del piano ri sega 

 la curva fìssa C 2 4- . . . 4- d del piano fisso ri, in un certo numero k^-i — 1 

 di punti M'i , . . . , M' ft , i quali si trovano sulla retta nri comune ai due 

 piani. Se ora facciamo che il punto P r torni alla posizione iniziale P lungo 

 la y , è seguiamo nei loro movimenti il piano ri e la curva O'i , vediamo 

 che i punti M'i , . . . , M.\ andranno muovendosi con continuità lungo le curve 

 fìsse C 2 , . Ci- , mentre la retta uri che li contiene varia con continuità 

 sul piano fisso n. Al limite, per P' coincidente con P, la curva C\ si è 

 portata sulla Ci di tv, ed i punti M\ , . . . , M.\ sono venuti a cadere in certi 

 punti Mj , . . . , M* comuni alle due curve Ci e CV-4- . ... -f- Gì , dei quali 

 punti uno almeno cade in P. La retta rcri (contenente i punti M\ , . . . , M r ft ) 

 ammette alla sua volta come posizione limite (per una nota proprietà) quella 

 retta t' del fascio (P , n) che è tangente coniugata (rispetto ad F) alla tan- 

 gente t a y in P ; sulla t' adunque devono cadere, oltre a P, altre k — 1 

 intersezioni delle due curve Ci e C 2 + . . . + C; ( x ). Ora si osservi che la 

 curva y , di cui ci siamo valsi nell'ultimo ragionamento, è in nostro arbitrio. 

 Si faccia variare y su F intorno a P, in guisa che la sua tangente t in P 



(!) Di queste intersezioni alcune, giacenti su C 2 , possono anche venire a cadere in P ; 

 allora però f riesce tangente a C 2 in P, perchè P è punto semplice per C a . (Se infatti 

 P fosse doppio per C 2 , esso riuscirebbe almeno triplo per la sezione completa di F con n, 

 e ciò non è possibile, come sopra si dimostrò). 



