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curve r iduttib ili, è rigata oppure èia superficie di Steiner 

 (del quarto ordine, con tre rette doppie concorrenti in un punto triplo, se- 

 gata in due coniche da ogni piano tangente). 



« È chiaro che una rigata viene segata da oo 2 piani in curve riduttibili: 

 ogni generatrice appartiene ad oo 1 di tali sezioni. Noi potremo dunque li- 

 mitarci a considerare quelle superficie non rigate che godono la proprietà 

 enunciata nel teorema. 



« Indichiamo con F una di siffatte superficie, con n imo generico degli oo 2 

 piani secanti F lungo curve riduttibili, con C, , Cs> ■ ... Of le compo- 



nenti irriduttibili della sezione praticata con ir. Ed osserviamo anzitutto che 

 se due delle i curve giacenti su n hanno in comune un punto P semplice 

 per F, il piano n è tangente alla F in P. Dal che segue subito che due 

 tra le i curve del piano generico n non possono coincidere, poiché altrimenti 

 n toccherebbe F lungo una curva, e potendosi ripetere altrettanto per cia- 

 scuno degli oo 2 piani, ogni punto di F avrebbe oo 1 piani tangenti, il che 

 è assurdo. 



« Ciò premesso, facciamo variare con continutà il piano n entro al si- 

 stema oo 2 , (sistema evidentemente algebrico, perchè algebrica è la condi- 

 zione di riduttibilità di una sezione di F). Al variare di n le linee Ci < G.%, ; . . C< 

 (che non sono rette) varieranno sopra F con continuità (conservando quindi 

 inalterati i loro ordini, generi ....), e descriveranno certi sistemi algebrici 

 doppiamente infiniti. Indichiamo con 2 l il sistema oo 2 di tutte le curve di 

 F su cui si porta Ci al variare di n : e analogamente siano S 9 , . 2< i si- 

 stemi descritti da C 2 , . . . C* ; non è escluso che questi sistemi algebrici pos- 

 sano in parte o tutti coincidere (quando due o più curve irriduttibili di 

 n appartengano ad uno stesso sistema algebrico oo 2 ). 



« Per due punti generici di F passano una o più curve di ciascuno dei 

 sistemi 2 1 , 2 2 . . . 2i\ e le curve del sistema 2 X (ad es.) che passano per 

 un punto P generico di F, formano un sistema algebrico co 1 che indiche- 

 remo con 2\. La curva generica Ci di 2\ sta in un piano, il quale sega 

 inoltre F lungo i — 1 curve C 2 . . . Ci ; ma queste non passano per P, perchè 

 altrimenti quel piano, generico in un sistema co 1 , toccherebbe la superficie 

 F in P, mentre uno solo è il piano tangente ad F in P. Ne viene che mentre 

 Ci descrive il sistema 2\ , la curva C 2 descrive un sistema algebrico, pure 

 oo 1 , 2\ certo distinto da 2\ . Vi sarà almeno una curva C 2 di 2' 2 che pas- 

 serà per P, la qual curva, insieme alla Ci di 2'i che giace nel suo piano, darà 

 una curva composta Ci -f- C 2 avente un punto doppio in P ; quel piano dunque 

 sarà tangente ad F in P. E così si vede intanto che il piano 7r tan- 

 gente ad F in un punto generico P appartiene al sistema oo 2 

 dei piani secanti F lungo curve riduttibili, e che pel punto 

 di contatto P passano due Ci, C 2 tra le curve componenti la 

 sezione piana. Anzi pel punto P non può passare una terza componente C 3 , 



