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riconoscere se due forme hanno integrali comuni e, nel caso affermativo, per 

 ottenerli come integrali di una forma d'ordine inferiore. 



« 12. Supponiamo ora che i coefficienti della forma sieno polinomi razio- 

 nali interi rispetto ad un parametro x: per tali forme potremo definire il 

 concetto di irriducibilità, chiamando irriducibili quelle forme che non ammet- 

 tono divisori aventi coefficienti razionali in x. 



« Riserbandomi di tornare in altra occasione su questo concetto onde 

 mostrarne le applicazioni, basti per ora di indicare come le considerazioni 

 che precedono permettano di dare le condizioni affinchè una forma a coeffi- 

 cienti lineari in x abbia un certo numero di integrali, fra loro indipendenti, 

 che non contengano la x. Se la forma 



fn+r -f (a lM X -f- a' !. n ) /n+r-l H \~ {flr.n % + a' fM ) f n 



deve avere integrali indipendenti da x, per questi saranno nulle le forme 



fn+r ~{~ ® l-nfn+r—l ~f~ ••' a r.nfn ed Gli. n fn+r— 2 ~\~ &2.n fn+r-2 ~\~ "' ~\~ Q>\.nfni 



e quindi col metodo del § 11 applicato a queste due forme si avranno le 

 condizioni affinchè vi siano s integrali indipendenti comuni, e la forma di 

 ordine s che ammette questi integrali come sistema fondamentale. 

 « In particolare, l'equazione di second'ordine 



fn+2 ~ {fin x ~\~ & ») fn+l ~\~ % fn 



ha un integrale indipendente da x sotto la condizione 

 (10) a„ a'n-, + 1=0 



e l'integrale stesso è 



(— l) n c 



CIq 0>\ ••• Q>n—\ 



* Sotto la condizione (10), la frazione continua 



x 



a == 



a o H 



aiX-\- a\ -f- 



<z 2 x -f- a! \ -f- ••• 



può avere un valore indipendente da x : indicando infatti con P M ," Qn i nu- 

 meratori e denominatori delle ridotte, sarà 



a n = «0 P» ~|- «1 Qn 5 



se ora si ha, per valori convenienti di x, lim ^ == 0 , viene 



P„ «R 1 



a — hm ~ — — = — ». 

 Rendiconti. 1894, Voi. IH, 1° Sem. 3 



