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« 7. Da quanto precede risulta facilmente la scomposizione di una forma 

 F, di cui si conosca un sistema fondamentale d'integrali a (1) „, « (2, „, . . . a (r, „ i 

 sotto forma di prodotto di forme di prim' ordine. Preso infatti 



si avrà 



F = 0<» E (i) 5 



e saranno integrali di G (1) le E (1) (a„ (2) ), E (1> (a n < 8) ), ... E (1) (« fl (r) ). Mediante 

 uno di questi integrali, e posto 



T?(2) f ì (2) f 



si può scrivere G (1 ' sotto la forma G (2) E (2> , onde 



p = G (2) E <2) E (1) 



e così continuando, si ottiene la scomposizione cercata: 

 (5) p = E (r> E (r_1) ... E (2) E (1) . 



« E chiaro che varierà la scomposizione al variare della successione degli 

 integrali a n a \ a n (2 \ . . . a n (r \ adoperati. 



« 8. Inversamente, se una P è data sotto forma di prodotto di forme di 

 prim'ordine, come la (5), è facile di ottenere un sistema fondamentale d'in- 

 tegrali. Si ponga all'uopo 



E (r-n E (r - 2) ... E (1) = H (1 \ onde P = E (rt H (1) , 

 e si supponga determinato un sistema fondamentale di H (1) . Esso ci darà 

 r — 1 integrali indipendenti di P : ora, dico che un r*™ 0 integrale indipen- 

 dente dai precedenti, si può avere mediante integrazione di sole equazioni 

 del primo ordine. Infatti un integrale di P che non lo sia di H (1) dovrà 

 dare E (rt H (1) = 0, cioè H C1> dovrà essere l'integrale 6 (1) M di E (r) = 0, facile 

 a determinarsi. Ma si faccia 



H (d _ E cr-i) h< 2 » e si ponga l'equazione E^ -1 ' = ; 



trovando l'integrale tì m n di questa equazione del prim'ordine, si ponga la 

 nuova equazione H <2) = tì 2 ,,, indi H (2) = E tr_2) H (3) e così via: mediante la 

 risoluzione di sole equazioni di prim'ordine, si giunge ad un integrale di P 

 che non è integrale di H (1> e che perciò, insieme a questi, dà un sistema 

 fondamentale di P. 



« 9. Scomponendo una forma P nel modo indicato dalla (5), ed essendo 



-Ci — / n+1 A n /«) 



si trovano fra i coefficienti a 1>M , a 2M , . ■ . . a r .» della P e le quantità X n (M delle 

 relazioni notevoli, in corrispondenza perfetta colle volgari relazioni fra i coef- 

 ficenti e le radici di un'equazione algebrica. Sembra superfluo di scrivere qui 

 per disteso queste relazioni, che 'il lettore scorgerà senza fatica e che sup- 



