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« 4. Posto F == 0, si ha un' equazione lineare alle differenze dell'ordine r, 

 di cui ogni soluzione è detta un integrale di F ; più integrali si dicono in- 

 dipendenti quando fra di essi non passa una relazione lineare omogenea a 

 coefficienti sia indipendenti da n, sia periodici e ad un sol valore in n col 

 periodo 1 ; r integrali indipendenti formano un sistema fondamentale. 



« Se F è divisibile per G, ogni integrale di G è integrale anche di F; 

 un sistema fondamentale di G dà un sistema di s integrali indipendenti di F. 

 Inoltre, sia \i n un integrale del quoziente H di F per G; si ponga l'equazione 



G jU re , 



lineare (non omogenea) alle differenze d'ordine s; questa avrà un integrale 

 linearmente indipendente dagli s integrali ottenuti per G, e che soddisfarà 

 ad HG == F = 0. Con questo metodo si possono ottenere r — s integrali di F 

 indipendenti fra loro e coi precedenti s, in guisa da avere un sistema fon- 

 damentale di F. 



« 5. Si eseguisca la divisione di F per una forma di prim' ordine 

 E = f n+ i — X n f n . 



« Essendo 



F = GE -f- R, G — fn+r-l -f" b\.n fn+r-2 ~\~ '"' ~f~ ^r-l.« fn , 



si avrà per la determinazione delle b ÌM un semplice sistema di equazioni 

 lineari, dalle quali per sostituzione successiva si ottiene: 



bl.n ==L Ki+r— 1 ~"f~ &l.n 



bo.n == ^n+r—l ^-n+r—2 ~f~ ^n+r— 2 ~\~ &2.n 



br—l.n — ^n+r—l ^n+r—2 •■• ^n+i ~\~ &\.n ^n+r—2 ••• ~ t~ "" ~~\~ &r—2.n^n-i-l~\~G-r—l.n 



R = (A M+r _! À M+r _ 2 ... X n -|— Cti.n X n+r _ 2 ... X n -j- ■•• -j- Ci r —\. n X n -\-tt r .n)fn- 



« È appena necessario di rilevare la perfetta analogia della regola che 

 discende da queste forinole per la determinazione del quoziente G, colla nota 

 regola del Ruffini che vale per la formazione del quoziente e del resto nella 

 divisione di un polinomio razionale intero in x per un binomio x — a. 



« 6. La condizione affinchè F sia divisibile per E viene data da R=0, 

 cioè da 



(3) ^n-M — 1 ^"n+r—2 ••■ ~\~ d\.n ^-n+r—2 ••• ^n ~\~ "' ~\~ 0>i — l.n ^n ~f~ &r.n == 0 ', 



ora, posto 



(4) X 0 Xi X 2 ... = oc n , 



la (3) viene soddisfatta se e soltanto se a n è un integrale di F. Ma dalla 

 (4) segue 



CC n+1 X n PC n = 0 , 



e quindi si ha il teorema: 



« Condizione necessaria esufficiente affinchè unaforma 

 F sia divisibile per unaforma di prim'ordine, è che l'inte- 

 grale di questa sia un integrale della F. 



