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essere condotto a ritenerlo come di grande e naturale sussidio per la riso- 

 luzione della questione di sopra enunciata e di molte altre analoghe ; dando 

 nelle righe seguenti alcune proposizioni fondamentali ispirate a tale concetto, 

 credo di non fare cosa inutile per la teoria interessante e forse troppo ingiu- 

 stamente negletta delle equazioni alle differenze. Il riavvicinamento che ne 

 risulta fra le equazioni alle differenze e le ordinarie equazioni algebriche, 

 appunto per la sua spontaneità, sarà forse già stato notato altre volte ; a questo 

 proposito il eh. prof. Beltrami ha gentilmente richiamata la mia attenzione 

 sul § 492 del T. II delle Lesioni di calcolo sublime del Bordoni, dove 

 è resa manifesta l'analogia fra l'equazione alle differenze 



1/n yn+1 &n 1/n+l b n ì/ n ~j~ C n = 0 



e l'ordinaria equazione di secondo grado. Però, per quanto io sappia, non sono 

 state date proposizioni generali su tale argomento, meno che per il caso assai 

 ovvio delle equazioni lineari a coefficienti costanti ('). Il metodo simbolico 

 applicato dal Boole ( 2 ) alle equazioni differenziali lineari ha, colle notazioni 

 usate in ciò che segue, una somiglianza di sola apparenza. 



« 1. Si dirà forma lineare alle differenze, o semplicemente forma, ogni 

 espressione 



(1) F (/) == fn+r ~\~ Ul.n fn+r-l ~\~ '" ~\~ a r —\.n fn+1 ~\~ a r .n fn j 



/„ è una funzione indeterminata dell'indice; r è l'ordine della forma. La F 

 è una operazione funzionale distributiva. 



« Date due forme F (/), G (/), ponendo G in luogo di / nella prima 

 si avrà una nuova forma, di ordine uguale alla somma degli ordini di F 

 e G e che si dirà prodotto delle forme F, G: essa verrà indicata con PG(/). 

 Così si definirà il prodotto di tre o più forme : avendosi con ciò una specie 

 di moltiplicazione per cui vale la legge associativa, ma non la commutativa. 



« 2. Date due forme P, G, la prima di ordine r, la seconda di ordine s, 

 e supponendo r > s, si può sempre trovare una forma H dell' ordine r — s 

 e tale che 



(2) F — HG — R, 



essendo E una forma di ordine inferiore ad s. Infatti, indicando con h iM , 

 hz.n , ••• hr-s.n i coefficienti di / n+r _ s _! , / n+r _ s _ 2 , ... f n in H, si potranno deter- 

 minare le hi. n in modo da annullare in F — HG i termini in f n+r , f n + r -i , — fn+s • 

 si avranno all'uopo equazioni lineari a determinante certamente diverso da 

 zero, e rimane una forma R (resto) di ordine al più uguale ad s — 1. 



« 3. Qualora accada che R — 0, il che porta ad s relazioni fra i coef- 

 ficienti di G e di F, si dirà che la forma F è divisibile per G, o che G 

 è divisore di F; si dirà pure che H è il quoziente di F per G. 



0) V. p. es. Casorati, R calcolo- alle differenze finite interpretato ecc. (Ann. di 

 Mai, serie 2 a , t. II, 1880, § 6). 



( 2 ) Treatise on differential Equations, 2 a ed., 1865, pag. 381. 



