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« Ora, se consideriamo tutte le possibili sostituzioni di l a e 2 a specie, 

 col determinante zt 1, appartenenti ad uno di questi 8 tipi, potremo facil- 

 mente constatare che esse formano un gruppo, che indicheremo con H. Basta 

 per ciò osservare che il prodotto di due numeri del modulo (M) o di due 

 numeri del modulo (M') è un numero in (M), mentre il prodotto di un 

 numero di ( M ) per un numero di ( M' ) appartiene ad ( M' ), dopo di che si 

 vede subito che le dette sostituzioni formano effettivamente un gruppo. Di 

 più. si vede che il tipo della sostituzione composta dipende unicamente dai 

 tipi, cui appartengono le due sostituzioni componenti, secondo la legge espressa 

 dalla tavola seguente, costruita al modo della tavola pitagorica: 



I 



II 



III 



IV 



V 



VI 



VII 



VIIT 



II 



I 



IV 



III 



VI 



V 



Vili 



VII 



III 



IV 



I 



II 



VII 



Vili 



V 



VI 



IV 



III 



II 



I 



VIII 



VII 



VI 



V 



V 



VI 



VII 



Vili 



I 



II 



III 



IV 



VI 



V 



Vili 



VII 



II 



I 



IV 



III 



VII 



VIII 



V 



VI 



III 



IV 



I 



II 



Vili 



VII 



VI 



V 



IV 



III 



II 



I 



« Di qui si desume p. e. che le sostituzioni dei primi quattro tipi for- 

 mano di per sè un sottogruppo eccezionale in H. 



« Cangiando le sostituzioni del gruppo H sopra definito in sostituzioni 

 quaternarie, secondo il § 1, si vede subito che queste appartengono tutte al 

 gruppo G, cioè sono congrue coll'identità (mod. 2). È chiaro quindi che H 

 o coincide con r o ne è un sottogruppo; in ogni caso esso ne contiene tutte 

 le riflessioni e non ne contiene altre, e però contiene f., il quale è sotto- 

 gruppo eccezionale sì in H che in T. Quando si possa fissare il poliedro fon- 

 damentale di H, limitato da sole sfere di riflessione, è facile risalire da H 

 agli altri gruppi considerati (Cf. M. A). 



§ 4. 



« Fino ad ora abbiamo supposto i numeri primi p, q, r, s differenti. Se 

 alcuni di essi diventano eguali fra loro, ne risulta modificata la costituzione 

 del gruppo H, ma in ogni caso 'il metodo esposto è ancora applicabile. E 

 Eendiconti. 1894, Vol. Ili, 1° Sem. 2 



