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« Dobbiamo ora vedere quali valori sono da attribuirsi alle costanti 

 reali a x , a 2 , d, di, affinchè i coefficienti dello schema precedente riescano 

 numeri interi e di più quelli della diagonale principale dispari, gli altri tutti 

 pari. Intanto 



9 Qj'i' , Ci^ , di' 



dovranno essere interi e, se con 



«i 2 , «2 2 , Yi 2 > <V > 



indichiamo rispettivamente i loro massimi fattori quadrati, potremo porre: 



(i\ =■ «i yX , a 2 = cc 2 j/ju, , Ci — ■/! ]/v , di = <?i .j% , 



essendo X, /x, v, x interi, positivi e privi di fattori quadrati. Ciascuno dei 

 sei numeri 



]/pqXfx , ypr/xv , ^ps^it , ]/qrXv , y qsX% , yrsvr 

 dovrà allora risultare intero. 



§ 2. 



« Supponiamo dapprima che p, q, r, s siano numeri primi differenti. 

 Perchè ]/pqX/x riesca intero, occorre che ciascuno dei numeri p, q o divida 

 X, o divida (x, nè può dividerli simultaneamente, che altrimenti, essendo 

 X, ix privi di fattori quadrati, resterebbe in y'pqXfi l'irrazionalità \/p o l'al- 

 tra y 1 q . 



« Potremo quindi distinguere i quattro casi seguenti: 



A) p e q dividono fi, 



B) p divide X, q divide fi, 



C) p divide fi, q divide X, 



D) p e q dividono X. 



« Consideriamo ad esempio il caso A). Avremo 



ix = pq fi', 



con fx' intero e dovendo essere ]/X fi' intero, mentre X, fi non hanno fattori 

 quadrati, sarà [x' = X, cioè 



[x = pq X. 



Dovendo poi i tre numeri 



]/qrXv, \lqsXx, ]/rs vx 

 risultare interi, dovrà q, che non divide X, dividere v e x; se poniamo 



v — qv , % = q x' , 



dovranno essere 



y7x7, fsM- 



interi, quindi r dividerà X ovvero v'. 



