ed indicando con G una forma d'ordine r — 1 che sappiamo determinare, si 

 potrà porre 



(2) P = G E . 



« Essendo ora Q H un integrale della G, si formi l'equazione 



Pn+l 



(3) fn+l ^ fn — Q~ ! 



se ne ricava 



(4) 



fn ■P»(' C_ l _ ^p \ i 



dove c è una costante arbitraria; e questa espressione, sostituita nella P, la 

 renderà identicamente nulla. Se dunque Q ti contiene s costanti arbitrarie 

 (s^r — 1) e dà quindi una varietà lineare co 5 - 1 di integrali della G, la 

 forinola (4) conterrà s — J— 1 costanti, dandoci una varietà oo s di integrali 

 della P : in particolare, ci darà l'integrale generale di P se Q„ è l'integrale 

 generale di G. 



« 2. Consideriamo ora la serie 



oo o 



(5) Zf- 



e, supponendola convergente, indichiamone con a la somma e con a n il resto 



tf* = 2_ 



la (4) si potrà allora scrivere essendo C e C nuove costanti: 

 f n = P« (c + tf - O = CP„ + C P„ cr M . 



Otteniamo così per la P i due integrali P„ e P„ <s n , dotati della proprietà 

 che il rapporto del secondo al primo tende a zero per n co . 



« Può avvenire in ispecie che, rappresentando Q n l'integrale generale 

 della forma G, la serie (5) sia convergente. In tale ipotesi P„ a n costituisce 

 una varietà lineare oo r - 2 di integrali di P, aventi la proprietà che il rap- 

 porto di uno di essi integrali a qualunque altro non appartenente alla va- 

 rietà stessa, tende a zero per n = oo . 



« 3. Applichiamo questi risultati alla forma del second' ordine 



P = A+2 + fn fn+l -\rq n fn ■ 



« Detto ancora P„ un suo integrale particolare, la P sarà divisibile per 

 p 



E = f n+1 — /„ , ed il quoziente, come si scorge immediatamente, sarà 



p f _ ( ln P» f 



\X — I n+l t> I » 



