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il cui integrale, indicando con C una costante arbitraria, è 



n o' ( h c h • • ■ Qn-i 



Hn ^ p 



« La formola (4) ci dà pertanto l'integrale generale di P per mezzo 

 dell'espressione 



(6) A = P„(c + C'(^+^ + ^ + ... + ^ f | f )); 



nel caso poi che la serie 



(7) ' = 1^ 



1 = 1 ,:V , V + l 



sia convergente, o n essendone il resto e e, c essendo costanti la (6) diviene 



(8) f n -eP„ + c' Pn.tr., . 

 Si avverta che 



, 1 



G ° = (f ~r pjT > tf i = '* • 



« Ecco ora come i risultati ottenuti si collegano alla teoria delle fra- 

 zioni continue. L'equazione P = 0 ammette come integrali i numeratori A„ 

 ed i denominatori B n delle ridotte della frazione continua 



<h 



p 0 — (Zi 



Pi —CJ2 



la quale è convergente se il rapporto A„ : B„ , per n — <x> , tende ad un li- 

 mite X, valore della frazione continua. Essendo, come è noto, 



A 0 = 1 , A, = 0, 

 Bo-0,13^1, 



viene 



P„ a n = P 0 c 0 A n -4- Pi o-j B„ , 

 da cui, per essere lim o" w = 0 , si ricava 



P 0 C 0 X -f- ^ tfj = 0 . 



Onde si ottiene la seguente relazione fra la serie (7) formata con un integrale 

 qualsivoglia P„ della P ed il valore X della frazione continua: 



(9) X 



Prendendo per integrale P„ il sistema B„ dei denominatori delle ridotte, 

 viene X = — a , cioè si ritrova lo sviluppo classico della frazione continua 

 in serie, dovuto ad Eulero. 



