« Introduciamo ora l'ipotesi che i numeri a n , è», c„ siano positivi e che 

 le serie 



■y- bp b\ ... # v _l -y- CpC\ ... ^ y— 1 



v=1 ct\ ci v bo b] ... ^ v 



siano convergenti; indichiamone con e, , a\ le somme e con c M , o-' n i resti 

 rispettivi. La (12) si potrà allora scrivere 



Qn = b 0 b 1 ... bn-1 (C' + <?" ff'„) 



e per mezzo di questo integrale di G formando l'integrale di F, si avrà 

 /„ = «o «i - ««-ì \c-\- c z_ r ^ ' — ) " 



\ (/.==! ^1 ^2 ••• ^u. U.=l ^1 ^2 ••• 0>u. J 



Ma la serie 2 ^° ^ "' ^' v ~ 1 essendo convergente e le ff' v essendo, per ipotesi, 



Ct\ (li ... d V 



quantità decrescenti e tendenti a zero, la serie 



y bpbj ... b,j.- x oV 



^1 ^2 •••• #f«. 



sarà a fortiori convergente, ed il suo resto potrà porsi sotto la forma <t n Qn, 

 dove Q n tende a zero per n = oo; La espressione precedente dell'integrale 

 generale di F può quindi trasformarsi in 



(14) f n = P M (d + c'j c M -f e/' <r n ?n ) 



dove P„ = Aio (Zi ... d n —i : cosicché si hanno per F tre integrali P M , P M c n e 

 Pn Cn ?n dotati della proprietà che il rapporto del secondo al primo e quello 

 del terzo al secondo tendono a zero per n = co. 



« 7. Nella stessa maniera che negli art. 3 e 4 abbiamo poste in rela- 

 zione le forinole d' integrazione della forma di second'ordine colla teoria delle 

 frazioni continue, così noi potremo ora applicare i risultati dell'art, prece- 

 dente all'algoritmo che delle frazioni continue fornisce la generalizzazione. 

 A tale oggetto, conviene prima dire che cosa intendiamo con convergenza di 

 un simile algoritmo. 



« Data una forma F di terz'ordine, si consideri il sistema fondamentale 

 d' integrali determinato dai valori iniziali 



A 0 = 1, A, = 0, A 2 = 0, 

 B o = 0, Bi — 1, B 2 = 0, 

 C 0 = 0, Ci = 0, C,==l, 



in guisa che ogni altro integrale viene dato da 



(15) P„ = Po An + Pi B„ + P 2 G„ ; 



poi si considerino i rapporti A„:C«, B M :C„. Quando questi rapporti ammet- 

 tono per n =oo i limiti a e /? rispettivamente, e di più ammette limite 



