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anche il rapporto B (i — fiC n : A )( — aC n , e sia y, si dirà che la F definisce 

 un algoritmo convergente. Il limite y, in questo ordine di idee, ha lo stesso 

 ufficio che spetta, nella teoria delle frazioni continue, al valore della frazione 

 continua stessa. 



« Ritornando ora alle formule dell'art. 6, applichiamo la (15) agli inte- 

 grali P„ , P„ <s n , P n a n Q n ; passiamo poi al limite tenendo conto che il limite 

 di e» e q n sono nulli, ed otteniamo così senza difficoltà il valore di y sotto 

 la forma 



Po Co Qo 



Pi<*i Qi 



Ma P 0 : Pi = — , inoltre, posto 



«0 



O =» tfl ?! — 2_ ' 



y=l $1 $2 ••• #v 



si ha 



onde 

 (16) 



*o ?o = b + — >_-r-7 T~ + — 



t*0 -,= 1 ^1 <J% ■•• "0 



V" CO C\ ... £y — 1 | -. 



#o 2 S « 0 



« 8. Aggiungiamo la seguente osservazione. Se una forma F contiene il 

 fattore di prim' ordine E - f n+1 — «„.,/„, sappiamo che essa ammette l' inte- 

 grale Se ora essa contiene il fattore E 2 — f n+2 — (a n +i-\- a n ) f n +i 

 -\-dnfn, è facile vedere che ammette corrispondentemente l'integrale con 

 due costanti arbitrarie 



(17) f n = a, a, ... a n - x ( c + c + ~ + - -^-) ) . 



\ \«o "l «n-l/ / 



Così se la F contiene il fattore E 3 , corrisponderà I' integrale con tre costanti 



(11— 1 i n—l v— 1 1 \ 



c + cy- + c"X j_— — ) . 

 -j=0 v=0 (J,=0 "V- ' 



e così via. 



« In particolare, se F è di terz'ordine e della forma E 3 , la (18) ne darà 

 l'integrale generale. L'algoritmo che essa definisce sarà convergente e si potrà 

 applicare la (16) se le serie S e c\, che ora sono 



co -j co co -i 



si suppongono convergenti ». 



