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Matematica- — Sulle superficie di Riemann. Nota del Corri- 

 spondente E. Bertini. 



« Liiroth ha indicato un tipo di superfìcie riemanniana (Math. Ann., 

 t. 4, p. 181), che Clebsch (ivi, t. 6, p. 216) fece oggetto di studio partico- 

 lare, notando gli elementi arbitrari che vi figurano e l'utilità delle applica- 

 zioni a cui si presta. Picard, nel 2° volume del suo recente Traité d'Ana- 

 lyse, introduce la superficie riemanniana sotto quella forma (p. 367 e seg.), 

 ma piuttosto per mezzo di esempi, che per una vera e propria dimostrazione. 

 Le righe seguenti mostrano che si può, senza rinunciare al rigore, accorciare 

 notevolmente la via seguita da Clebsch per giungere alla determinazione del 

 suddetto tipo. 



« 1. Una funzione algebrica s della variabile complessa s, definita dalla 

 equazione irriducibile f(ss) = 0 , possegga punti di diramazione semplici nei 

 punti 1, 2, 3, 4 , . . . del piano della variabile. Precisamente : se a, b, c, d , . . . 

 sono i valori di s o le radici della f = 0 in un punto fisso 0 del suddetto 

 piano e se questo punto è congiunto (in qualunque modo) ai detti punti 

 1, 2, 3, 4 .... . con cappi (Schleifen, lacets) 01,0^2,0^/3,04,..., che 

 non s'intersecano e che (intorno ad 0) si succedono come i punti stessi, avvenga 

 che, percorrendo il 1° cappio, si scambino le radici a, b; percorrendo il 2°, 

 le radici c, d; ecc. Si dirà che ai punti 1, 2, 3, 4 , ... sono coordinate le coppie 

 (ab), (ed), (ef), (gh), ... , ovvero che si ha la coordinazione 



(A) 



j 1 2 3 4 

 {(ab) (ed) (ef) (gh) 



© 



a 2. Occupiamoci delle modifica- 

 zioni che si possono introdurre nella 

 successione e nella composizione delle 

 coppie col variare la conformazione 

 dei cappi, il che può produrre o no 

 una variazione nella successione dei 

 punti di diramazione. 



0 



« Si sostituisca (ad es.) al cappio 

 0 x 2 il cappio 0 x'2. Poiché questo 

 nuovo cappio equivale manifestamente 

 ai tre cappi 0 y 3 , 0 x 2 , 0 y 3 , è 

 facile vedere che esso scambia ancora 

 le radici c , d , tanto nel caso che 

 queste radici sieno amendue differenti 

 dalle e , f , quanto nell' altro che 



