— 109 — 



Avanzando successivamente le (mn) , (Im) , . . . (de) , (ed) , (bc) oltre (nò) , 

 da questa nasce evidentemente (n. 2) una coppia (ab) , come si è affermato. 



« 5. Per essere la equazione f=0 irriducibile, da una radice a o b, 

 per opportuna successione di coppie, si deve andare ad ogni altra radice. 

 Segue che, oltre al gruppo di coppie (ab) in numero pari, dianzi conside- 

 rato, gruppo che indicheremo con Gr ab , esisterà certamente almeno una coppia 

 contenente a o b. Sia (bc), che porremo di seguito a G a6 . Dall'esistenza di 

 (bc), ragionando come nel n. 5 e notando che il percorrere le coppie del 

 gruppo G o!) non ha alcuna influenza, si conclude che, o esiste, o si può 

 ottenere dalle rimanenti coppie un'altra coppia (bc), o altre coppie (bc), di 

 seguito a quella da cui siamo partiti e che formino con essa un numero 

 pari di tali coppie. Indichiamo con G 6c l'insieme di queste coppie. Si può 

 fare, prima di andare innanzi, una modificazione; avanzare cioè una coppia 

 di G fl 6 oltre tutte le coppie di G bc ; questo gruppo diventa G ac (n. 2), che 

 si può mettere al posto di prima (n. 3). La nostra successione comincia 

 quindi coi due gruppi G ab G ac . 



« Per la stessa ragione detta sopra, almeno una delle coppie che seguono 

 questi due gruppi deve contenere a o b o c. Ripetendo la precedente dimo- 

 strazione, ne nascerà un terzo gruppo, contenente un numero pari di coppie, 

 che sarà del tipo G a d o G 0 d o G ca -. Se è G b d o G C d si può fare una modi- 

 ficazione come quella ultimamente indicata, adoperando una coppia di G ab o 

 di G ac (nel primo caso occorrendo però di collocare G ab dopo G ac (n. 3) ) ; 

 e si ha quindi in ogni caso un gruppo del tipo G a d. La nostra successione 

 comincia adesso coi tre gruppi G ab G ac G aa - e deve nelle coppie rimanenti 

 contenere aobocod; ene risulta, come precedentemente, in ogni caso 

 un guarto gruppo G ae '■ e così di seguito. Non è escluso che compaiano gruppi 

 eguali (cioè formati di coppie eguali), che si possono riunire in un gruppo 

 unico (n. 3). Adunque si può sempre ottenere che la successione delle compie 

 sia formata di n — 1 gruppi 



(G) G a b G ac G a d G ar G as G a t , 



ogni gruppo G y - contenendo un numero pari di coppie (ij) ; essendo 11 il 

 numero delle radici ed abed . . . rst una loro disposizione. 



« 6. In (G) si avanzi una coppia di G as oltre G a( ; questo gruppo di- 

 vente G s( che si può rimettere al suo posto. Così una coppia di G a> - si avanzi 

 oltre G as ; questo diventa G rs che pure si può rimettere al posto; e così di 

 seguito. Ne risulta che la successione delle coppie può anche essere for- 

 mata dai gruppi seguenti 



(G') Gab Gbc G C d G rs G s£ . 



Viceversa da (G') si passa facilmente a (G). 



« 7. È importante osservare che, tanto in (G), quanto in (G') (oltre 

 l'arbitrietà sussistente in generale', detta nella nota al n. 2): 



