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« Se di più imponiamo alle curve C, C ed alla superfìcie S la condi- 

 zione di essere analitiche, possiamo accertare che sussiste la proprietà : 



« B) Le due assintotiche C, C della superficie pseudosfe- 

 rica S la individuano completamente. 



« L'elemento lineare della superficie pseudosferica S, riferita alle sue linee 

 assintotiche u, v, ove per parametri u, v si prendano gli archi delle due 

 assintotiche y=0, u—0 contati dal punto comune (0, 0), prende la nota forma 



(1) ds 2 = du 2 -h 2 cos co du dv -f- dv 2 , 

 essendo co una soluzione dell'equazione 



(2) = sen co ; 



viceversa ad ogni soluzione co di questa equazione corrisponde una superficie 

 pseudosferica coli' elemento lineare (1), determinata a meno di movimenti nello 



spazio. Ora le prime curvature — ' — delle linee assintotiche u = cost te , 



v = cost te sono date rispettivamente da 



1 _ ~ÒCO 1 ~òù) 



per cui, assegnata la forma delle assintotiche u=0, y=0, conosciamo ( — j 



\7)y/ M =o 



in funzione di v e j — | in funzione di u. Poiché inoltre è noto il valore 



yòu /„„<> 



iniziale co 0 di co in (0, 0), conosciamo co lungo la u = 0 e lungo la v = 0. 



« Per le considerazioni superiori, il teorema A) equivale al seguente : 

 «L'equazione a derivate parziali 



(3) = sen * 



ammette una soluzione s, che per y = 0 si riduce ad una fun- 

 zione arbitraria g> (x) della x, e per x = 0 ad una funzione ar- 

 bitraria xp (y) della y. 



«■ Supponiamo dapprima soltanto che le funzioni assegnate <p (x), xp (y) 

 siano finite e continue insieme colle derivate prime y> (x), xp' (y) ed inoltre 

 che si abbia, come è naturale 



<P (0) = V (0). 



« Riguardando x, y come coordinate cartesiane ortogonali in un piano, 

 ci limiteremo a costruire la soluzione cercata entro un rettangolo di area 

 l <C 1, di cui due lati siano gli assi coordinati x — 0, y = 0. Basta per ciò 



