« Essendo 



si ha in tutto il rettangolo 



(6) | 

 « Ora 



ma per la (6) 



| sen *! ]< 1 , 

 — ii |< < A. 



onde 



« Così procedendo, si trova chiaramente che in tutto il rettangolo è 



| in in— 1 1 



« Paragonando la serie (5) colla progressione geometrica, convergente a 

 causa di 1 < 1 



A -f-A 8 + A 3 -4— ■• 



risulta evidente la convergenza in egual grado della (5). La somma dei 

 primi n termini della serie (5) essendo s n , possiamo anche dire che z„, al 

 crescere infinito di n, converge in egual grado verso z. Resta a provare che 

 questa funzione s, la quale è certamente finita e continua in tutto il ret- 

 tangolo e soddisfa alle condizioni iniziali, è una soluzione della (3). Ora 

 ciascun termine della (5) ammette la derivata seconda rapporto ad x e y; 

 per la (4) la serie formata con queste derivate seconde è 



(7) sen5i-j-(sen^ 2 — sen Zi)-\- (sen z 3 — sen^-f- ••• -J- (senz n — sen z n -i )+" • 



« La somma dei primi n termini di questa serie è sen z n e, al cre- 

 scere di n, converge in egual grado verso sen,?, come z n verso z. Pei teo- 

 remi generali sulle serie convergenti in egual grado, la funzione è, rappre- 



sentata dalla (5), ammette la derivata seconda 

 dunque 



~òcc ~òy 



che è la serie (7); 



ì 2 z 



— sen s. 



~òx~òy 



« Si osserverà che la regione del piano xy, nella quale è accertata la 

 convergenza della serie (5), è il settore infinito racchiuso fra la iperbola 

 equilatera 



xy — 1 



e i due assintoti. 



