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3. 



« Supponiamo ora che (f(x), tp(y) siano funzioni analitiche di x, y, svi- 

 luppabili in serie di Taylor per le potenze di x, y rispettivamente. 



« Pei teoremi di Weierstrass anche sen s x sarà sviluppabile in serie di 

 potenze di x, y e però anche s 2 ; lo stesso dicasi di g 3 , g 4 , ... g„ ... . La serie (5), 

 che rappresenta la nostra soluzione g, essendo convergente in egual grado, 

 potrà essa stessa trasformarsi in una serie di potenze 



(8) 2 = y X «W x m y n , 



quindi la soluzione s della (3), fornita dal metodo di Picard, è anch'essa 

 una funzione analitica. D'altronde si vede subito che i coefficienti della se- 

 rie (8) sono già pienamente determinati dalle condizioni iniziali imposte a z. 



« Dunque: Se le funzioni <p(x), *p(y) sono funzioni analiti- 

 che, vi ha una ed una sola soluzione analitica della (3), che 

 soddisfa alle condizioni iniziali. 



« Così è dimostrato anche il teorema B) n. 1. È importante osservare 

 che nel metodo esposto non si esclude il caso che una delle due funzioni 

 (p (x), ip (y), od anche tutte e due, si riducano ad una costante. Per quanto 

 si è detto al n. 1, ciò significa geometricamente che una delle due assinto- 

 tiche assegnate od anche ambedue possono essere linee rette. 



« L'ultimo caso è specialmente interessante. Vediamo così che: Date 

 due rette che si tagliano, vi ha una ed una sola superficie 

 pseudosferica (analitica) di raggio assegnato, che le con- 

 tiene ambedue. 



« Le superficie pseudosferiche, così caratterizzate dal contenere due rette, 

 non dipendono più che da una costante arbitraria, l'angolo delle due rette. 

 Si vedrà poi subito che nel caso ora considerato le successive funzioni 



g<i i g$ , ... z n ... 



sono funzioni del prodotto xy soltanto ; lo stesso avviene quindi della cor- 

 rispondente soluzione s della (3). Ne segue che una qualunque di queste 

 superficie pseudosferiche, trasformata con trasformazione di Lie, dà sempre 

 la superfìcie stessa. 



4. 



* Delle molte applicazioni che consente il teorema generale, così rigo- 

 rosamente dimostrato, mi limiterò a citarne qui alcune relative alla teoria 

 dell'applicabilità. 



