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« E noto che la teoria generale della deformazione delle superficie fles- 

 sibili ed inestendibili insegna che si può deformare una superfìcie a curva- 

 ture opposte, mantenendo rigida una sua linea assintotica. Tale proprietà risulta 

 da ciò che gli sviluppi in serie, che si ottengono allora per la soluzione del 

 problema della deformazione, contengono infiniti coefficienti indeterminati ( 1 ). 



« Però, mancando la dimostrazione generale della convergenza di siffatti 

 sviluppi, gli esempi effettivi delle deformazioni di questa specie presentano 

 sempre un particolare interesse. Qui tratterò appunto delle deformazioni citate 

 per le superficie pseudosferiche stesse e per le loro evolute, che insieme alle 

 superficie rigate luogo delle binormali delle curve a torsione costante co- 

 stituiscono, come si sa, la classe completa delle superficie applicabili sul 

 catenoide ( 2 ). 



« Sulla superficie pseudosferica S individuata dalle due assintotiche C, C r , 

 consideriamo un sistema di linee geodetiche parallele uscenti dai punti dell'as- 

 sintotica C, la cui equazione è v = 0. Se con 6 indichiamo l'angolo d'incli- 

 nazione di queste geodetiche sulla v = 0, avremo lungo C la formola 



(9, ^ — 



« Viceversa se 6 soddisfa a questa equazione, le geodetiche spiccate dai 

 punti della v = 0 nella direzione assegnata da 0 formano un sistema di geo- 

 detiche parallele. 



« Ciò premesso, occupiamoci di caratterizzare le deformazioni della S, 

 per le quali l' assintotica C rimane rigida. Facciamo per ciò variare ad arbi- 

 trio la C, restando fissa C. Allora , come rappresentante la flessione di C, 



non muta e in conseguenza alla (9) si soddisfa sempre col medesimo valore 

 di 0. Se consideriamo dunque due diverse configurazioni S, S' della super- 

 ficie pseudosferica, la stessa funzione 6 definirà per l'una e per l'altra super- 

 ficie un sistema di geodetiche parallele. Ora possiamo applicare la S sulla S r 

 in guisa da sovrapporre i due sistemi di geodetiche parallele considerati e 

 il punto P a sè stesso, dopo di che l' assintotica v = 0 si sovrapporrà pure 

 a sè stessa. 



«Dunque: Le deformazioni di una superficie pseudosfe- 

 rica S, per le quali resta rigida una assintotica C si otten- 

 gono semplicemente quando delle due assintotiche C, C, che 

 individuano la superficie, si tenga fissa la C e si faccia va- 

 riare di forma arbitrariamente la seconda C\ 



(') Darboux, Legons sur la théorie générale des surfaces. T. Ili, pag. 280, e Wein- 

 garten, Crelle's, Journal Band 100, pag. 308. 



( 2 ) Un altro esempio istruttivo è stato recentemente trattato dal dott. Calò nella sua 

 tesi di laurea, di cui un estratto trovasi inserito negli Annali di matematica (1893). 



