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« Conformemente alla teoria generale, vediamo che queste deformazioni 

 dipendono da una funzione arbitraria, la flessione di C\ 



« Se assoggettiamo C ad incontrare C sempre sotto il medesimo an- 

 golo o) 0 , non solo — ma ben anche a> stesso non muterà di valore lungo C, 



du 



e siccome da co soltanto dipendono i raggi principali di curvatura della su- 

 perficie, abbiamo il risultato: Una superficie pseudosferica S am- 

 mette infinite deformazioni (dipendenti ancora da una fun- 

 zione arbitraria) nelle quali un' assintotica C resta rigida e 

 lungo C non variano i raggi principali di curvatura. 



« Ora osserviamo che, tracciata sulla superfìcie pseudosferica S una curva 

 qualsiasi r, che tagli in un punto P l'assintotica C, fra le deformazioni di S 

 in cui C resta rigida ve ne ha una che rende F linea assintotica. La nuova 

 forma F', che F assume dopo la deformazione, è determinata da che la prima 

 curvatura di F" eguaglia la curvatura geodetica di F e la torsione è = — 1. 

 Notevole è il caso in cui F sia- un circolo geodetico ; allora dopo la defor- 

 mazione diventa un'elica circolare. In particolare se f è geodetica, dopo la 

 deformazione si rettifica. 



« Da ciò che si è detto fin qui è facile concludere: Tracciate ad 

 arbitrio sulla superficie pseudosferica due curve uscenti da 

 un punto, si può deformare la superficie in guisa da renderle 

 ambedue linee assintotiche. 



5. 



« Per ciascuna delle infinite forme, che assume una superficie pseudo- 

 sferica S flettendosi attorno all' assintotica rigida C e serbando invariati lungo C 

 i raggi principali di curvatura, consideriamo l'una o l'altra falda 2 dell'evo- 

 luta. La 2 è applicabile sul catenoide e le sue assintotiche corrispondono 

 alle assintotiche della evolvente S. L'assintotica r di 2, che corrisponde 

 all'assintotica C di S, rimane evidentemente fissa. Di più le formole che 

 danno l'elemento lineare della evoluta 2 dimostrano che le varie forme as- 

 sunte da 2 sono applicabili in guisa che i punti della r rimangono fissi. 

 Abbiamo dunque il teorema: Se una superficie pseudosferica S si 

 flette, restando rigida un' assintotica C e conservando lungo C 

 gli stessi raggi principali di curvatura, ciascuna falda del- 

 l'evoluta si flette egualmente restando rigida la corrispon- 

 dente assintotica r. 



« Inversamente per ogni superficie (non rigata) applicabile sul catenoide 

 il teorema precedente dà, come facilmente si vede, tutte le flessioni possi- 

 bili che lasciano rigida un' assintotica, salvo naturalmente quella in cui la 

 superficie diventa rigata, cioè le geodetiche deformate dei meridiani del cate- 



