Geodesia. — Sulla espressione della gravità alla superficie 

 del geoide, supposto ellissoidieo. Nota del prof. Paolo Pizzetti, pre- 

 sentata dal Socio Beltrami. 



« In due Memorie pubblicate nel 1849, il sig. Stokes (') ha mostrato 

 come si possa determinare il potenziale della massa terrestre, e quindi il 

 valore della gravità, in ciascun punto della superficie della terra o fuori di 

 essa, senza fare alcuna ipotesi intorno al modo di variare della densità nel- 

 l'interno del globo; purché si conosca la massa totale della terra, e si am- 

 metta, coma dato di osservazione, che la superfìcie di essa sia superfìcie di 

 equilibrio e possa, con sufficiente precisione, ritenersi ellissoidica di rivoluzione, 

 coll'asse coincidente con quello della rotazione diurna. 



« La deduzione di Stokes, e la conseguente dimostrazione che Egli dà 

 del famoso teorema eli Clairaut, sono soltanto approssimate, trascurandovisi 

 quelle che possiam chiamare quantità piccole del 2° ordine, dove si inten- 

 dano quantità piccole del 1° ordine lo schiacciamento terrestre e il rapporto 

 fra la forza centrifuga equatoriale e la gravità media. Vogliamo qui ricer- 

 care l'espressione esatta del potenziale dell'attrazione terrestre, e quindi la 

 esatta relazione fra la gravità polare e la equatoriale, nell'ipotesi che il geoide 

 possa ritenersi confuso con un ellissoide di rotazione schiacciato, il cui asse 

 minore coincida con quello della rotazione diurna. 



«. In un'altra Nota estenderemo la ricerca al caso dell'ellissoide a tre 

 assi disuguali. 



« § 1. Premettiamo qualche considerazione generale. Si consideri un 

 sistema materiale 2 attraente secondo la legge newtoniana, e ruotante con ve- 

 locità angolare w attorno ad un asse (che assumeremo come asse x in un 

 sistema cartesiano ortogonale). Chiameremo gravità in un punto P la risul- 

 tante dell'attrazione e della così detta forza centrifuga, per una massa uno 

 concentrata in P, e diremo superficie d'equilibrio una superfìcie, per ciascun 

 punto della quale la normale segni la direzione della gravità, o, in altri 

 termini, una superfìcie, sulla quale si abbia: 



(O 2 



(a) f V -j- — (y 2 -f- s 2 ) = costante, 



dove V è il potenziale del sistema 2 sul punto {x y s), ed / è la costante 

 dell'attrazione. 



(') On attractions and on Clairaufs Theorem. — On the variation of graviti/ at 

 the surface of the Earth. Vedi: Mathematical and physical papers by G. G. Stokes, voi. II, 

 pag. 104, 131. 



