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« La ricerca degli invarianti (') lineari di una sostituzione lineare si 

 riduce a quella dei punti uniti della sostituzione stessa. Difatti se per una 

 sostituzione 



Xi — Z <kh yn (i = 1, 2, ... m) 



si ha identicamente 



Z A; Xi=^_ki yt 



z=l i=l 



devono essere soddisfatte le m equazioni 



m 



Z Ai a ih = A 7i (h = 1, 2, ... m) 



i=i 



che sono appnnto quelle che determinano le coordinate A 1? A 2) ... k n dei 

 punti uniti differenti dal punto x-i = w z = •■■ ='%m = 0. 



« Inoltre, nel caso delle sostituzioni ortogonali, la ricerca degli inva- 

 rianti quadratici può ridursi a quella degli invarianti lineari di una sosti- 

 tuzione ortogonale. Difatti se si ha 



m m 



Z x ? = Z y? 



i=\ 1=1 



si ha anche 



m m 



Z (xi 2 y-\-y ih {]/2xì x h y = £ (y?y + T_ ih {\/2y iyh y 



2=1 i=l 



e perciò la trasformazione di una forma quadratica può effettuarsi mediante 



Yfi (wi — f- 1) 



una sostituzione lineare ortogonale sulle — — ^ — - variabili 



a 



X\, x<i, ... x n 2 , 'j/2 X\ Xi , ... , j/2 x m ~\ x m . 



« Come si vedrà in seguito, noi potremo ridurre il nostro problema alla 

 ricerca degli invarianti lineari di sostituzioni ortogonali di due e tre varia- 

 bili, a determinante positivo. Riguardo a queste, ricordandone il significato 

 cinematico, si trova subito : 



1° Una sostituzione ortogonale di due variabili, a determinante posi- 

 tivo, non ammette in generale alcun invariante lineare ; solo quando si riduce 

 alla sostituzione identica ammette, come invarianti, le due variabili; 



2° Una sostituzione ortogonale di tre variabili a determinante positivo 

 ammette sempre un invariante lineare; ne ammette tre, le variabili stesse, 

 quando si riduce alla sostituzione identica. 



(i) Ho conservato la denominazione di invarianti, quantunque fosse forse più pro- 

 pria quella di covarianti, poiché non avrò mai bisogno di considerare altre espressioni 

 invariantive, e non può quindi nascere ambiguità. 



