« Questi teoremi del resto sono conseguenze immediate di teoremi alge- 

 brici generali noti (Baltzer, Theorie... der Determinatiteli, V te Aufìage r s. 201) 



Invarianti JI 3 , H\, tl\. 



« La sostituzione (3, y) che serve a trasformare n\ non può ridursi alla 

 sostituzione identica per alcun valore di n differente dall'unità; quindi n'- D 

 non potrà essere invariante se non si annulla identicamente. In ogni caso 

 perciò dovrà essere n\ = 0, ossia 



C 3 4 = 0 tf 3 5 = 0. 



« La sostituzione (3, a) che trasforma n\ può essere ridotta alla forma 

 canonica delle sostituzioni ortogonali positive di tre variabili osservando che si ha 



(4) x x — y y = (x' x — y' y ) cos ^sen — 



Xy = (x x — y y )sen — -{-x y cos—- 



« Il suo invariante è quindi, come già si è visto, 



<%oc ~f~ yy 



e non si può ridurre alla sostituzione identica che per n = 2. Dunque : 

 « Per n = 2 la forma Z7' 4 è invariante, qualunque ne siano 



i coefficienti c 13 , c 2 3, c 36 . 



"Per n^>2 dovràessere invece 



Ciz — c 2S c 36 = 0. 



« La sostituzione lineare per le variabili y/, g x 2 , \/2y z s x che si deduce 

 dalla sostituzione (3, y) è della stessa forma della (3, a) e quindi può ridursi 

 alla forma della (4). Abbiamo quindi: 



« Per n = 2 la forma 27 3 è invariante qualunque ne siano 

 i coefficienti <? 44 , c 55 , c i5 . 



«Per n^>2 dovrà essere invece 



Cu — £55 £45 = 0. 



Invariante II \ . 



« Per ottenere la sostituzione lineare di sei variabili che trasforma n l 

 ci serviremo della sostituzione (3, a) ridotta alla forma canonica (4). Posto 



Vi = {x x + y y ) 2 y* = l/2 (xoo — y y ) x y 



1J2 = (x x — y y f y 5 = )[2{x x + y y ) x y 



y-i - %y y 6 ^i/ 2 (zx—yy 2 ) 



