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la sostituzione per queste variabili y, che possono essere considerate invece 

 delle Xx, yy 2 , — , x x y y che compaiono in J7j , è la seguente 



. . 4n , , „ Ati , /- 4n 4n 

 y z = y 2 cos 2 f- y 3 sen 2 y 4 1/2 cos — - sen — 



An Art ,- 4rr 4n 



y t — y % sen 2 h V 3 c <> s r V 4 f 2 cos — sen — 



4n 4 ir , / „ 4rr „ Art \ 



0 



2/4 = (y't — fft) j/2 cos ^ sen ^- + ?/ 4 1 



ys = y\ cos—4- y' 6 sen — 



4nr , 47T 

 y 6 =— V s sen — + y « cos — 



cos 2 sen 2 



Questa sostituzione si decompone in tre sostituzioni ortogonali di una, due 

 e tre variabili rispettivamente, in modo simile alla sostituzione (3). Quindi 

 la ricerca dei suoi invarianti si può fare anche in questo caso mediante i due 

 teoremi già invocati. 



« La sostituzione [d) ammette, qualunque sia n, ì invariante 



y\ = (>* + y v y. 

 » La sostituzione («) ammette in generale soltanto l' invariante 

 fa + y 3 =- (x* — y y y + x y % . 



«■ Però, come si vede immediatamente riducendola alla forma canonica, 

 vi sono due casi, in cui essa si riduce alla sostituzione identica, quando 

 n =- 2 od n = 4. Per questi valori di n, ammetterà i tre invarianti 



y% = — y y Y~ yz = xf y, = \/2.{x x — y y ) x y . 

 « Finalmente la sostituzione (£) non ammette in generale alcun inva- 

 riante, e solo si riduce alla sostituzione identica per n — 2. In questo caso 

 avrà i due invarianti 



y 5 == 0{x x -4- I/i/) a?* ye = 1/2 (^ 2 — y/). 



« Vediamo ora quali condizioni ne derivano per i coefficienti di JI X nei 

 tre casi che, come si è visto, basterà di considerare, cioè n — 2, n = 4 ed n 

 differente da 2 e da 4. 



« 1° Per n = 2 tutte le sei variabili sono invarianti, 

 quindi tale sarà pure n x qualunque ne siano i coefficienti. 



« 2° Per n => 4 si hanno quattro invarianti 2/1,2/2,2/3, 2/4, a cui pos- 

 siamo sostituire i seguenti che ne sono funzioni lineari 

 %x ~f~ yy*, x x y y ■> x y 2 , (x x y^) x y . 

 « Dovrà allora n x essere funzione di queste quattro espressioni, quindi 

 fra i suoi coefficienti dovranno esistere le relazioni 

 £11 == C22 Cie == — ^26» 



Rendiconti. 1894, Vol. Ili, l°.Sem. 32 



