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dove Ai, A 2 , A 3 sono costanti dipendenti soltanto dalla forma della sezione 

 del filo e dalle costanti dell'elasticità della materia di cui esso è costituito; 

 r è la grandezza della risultante delle tensioni agenti su una sezione estrema 

 del filo ; s è l'arco della curva elastica, r la torsione e p J q le flessioni delle 

 proiezioni della stessa curva sui piani y s e z x. 



« Nella forma delle equazioni (1) è contenuto il teorema di Kirchhoff. 

 Le (1) rappresentano infatti il moto di un corpo rigido pesante di momenti 

 d'inerzia A 1( A 2 , A 3 , quando s è proporzionale al tempo e s'interpretino con- 

 venientemente le altre quantità che in esse compaiono. 



« Affinchè le (1) rappresentino le equazioni di equilibrio di un filo ela- 

 stico è sufficiente che il potenziale elastico della materia, di cui il filo è 

 costituito, si possa ridurre ad una somma di quadrati in p, q, r moltiplicati 

 per certe costanti A l5 A 2 , A 3 . Perciò basta che il potenziale elastico di un 

 elemento di materia abbia la forma: 



f = $11 X x 2 ~f~ $22 Dy' ~\~ $33 Zz* ~\~ $44 $55 Za? ~f~ $66 ~\~ 



+ 2 a 23 y y z z -\-2 a 13 g z x x -\-2 a l2 x x y y ('), 



dove a u • ■ • $66, $23, • • $12 sono costanti e x x , y y , s x ; y g , . . . dinotano le 

 dilatazioni e gli scorrimenti individuanti la pura deformazione dell'elemento, 

 secondo le notazioni usate da Kirchhoff. 



« Alle equazioni (1) si può dare facilmente un'altra forma. Basta perciò 

 moltiplicarle successivamente per a u a 2 , « 3 , poi per /? 2 , /? 3 e finalmente 

 per Yu Vi-, 73 e sommare ciascuna volta. Facendo uso delle formole di Poisson 

 si trova: 



d 



— (A, pa 1 -)- A 2 qa 2 -f- A 3 ra 3 ) -f- T/9 3 = 0 



{ J- (Ai pfi + A 2 q p 2 + A 3 ,%) - r«, = 0 

 d 



— (A, py 1 -f- A 2 qy 2 + A 3 ry 3 ) = 0 . 



« Osservando che a 3 = , 8 3 = ^ , Ya = -r , le equazioni prece- 



ds ds ■ ds 



denti si possono integrare rispetto ad s e quindi danno: 



l Ai pa x -}- A 2 qa 2 -f- A 3 ra 3 -f- Frj = d 

 (3) Ai pfr + A 2 ? /?„ + A 3 r/? 3 — n = c 2 



( Ai py 1 -f A 2 »y 2 -f- A 3 ry 3 = £ 3 . 



( J ) Per convincersi di ciò, basta osservare che in questa ipotesi, salvo i valori delle 

 costanti, si può trattare il problema di de Saint-Venant procedendo come nel Clebscli 

 {Théorie de Vélast. ecc., pag. 136 dell'ediz. fran.), quindi si possono costruire le equazioni 

 dell'equilibrio del filo come è indicato alla pag. 424 dello stesso libro. 



