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convenendo che le unità i, j, k abbiano i quadrati nulli, e che le condizioni 

 i=jk = — kj, j = ki=—ik , k = ij= — ji (3) 

 siano soddisfatte. Ora le (2) si possono compendiare, sommandole, nell'unica 

 formola 



dSi . 

 — — = oasi — i , 



ds 



(4) 



in cui compariscono soltanto i vettori 



Sì = ix -\-jy -hks , co = -{- y.% -|- #5- 

 Così la derivazione rispetto all'arco si riduce alla semplicissima operazione 

 vettoriale, rappresentata dal simbolo co. Importa dunque conoscere l'effetto 

 delle operazioni co 2 , co 3 , .... sulle unità fondamentali. 



* Conviene osservare, innanzi tutto, che, per le convenzioni (3), il prodotto 

 di tre unità fondamentali è generalmente nullo, tranne quando il secondo o 

 il terzo fattore soltanto sia uguale al primo, nei quali due casi il prodotto 

 si riduee al rimanente fattore, preso rispettivamente col segno cambiato o 

 col proprio segno. In altri termini 



iji=j, Uj = —j, (5) 



Ne segue, se si considerano più generalmente le operazioni vettoriali 



«i = i<*i + j§\ + kyi , co 2 = ia 2 -j- y#, -}- ky 2 , 

 che l'operazione 



w i w 2 = ii «i «2 -j- ij «i @z -\- ika l y t 



+ ji Pi «* + ri fii & + jWi Y* 



+ ki yì « 2 -j- kj Yi & + kkYx Yi , 

 applicata, per esempio, all'unità i, produce il risultato 



iji ccipi -f- iki + jjifiipz + kkiyiYz » 



cioè 



coì« 2 i == — (a^g -)- /?!/? 2 -f- y^) -|- co 2 a x . 

 Operando invece sull'unità scalare si ottiene 



C0 1 CfJ 2 = 



i 



a 2 



/2 



(6) 

 (7) 



oo 2 /c 



Ax* + «Kj, (8) 



In particolare co 2 = 0 ed 



CO 2 ì = ex 2 -f- COfo , w 2 j = — jx 2 -|- co3l> , 



dove x rappresenta il modulo di co. 



« Ora è assai facile trovare le formole per le quali le successive deri- 

 vate di x, y, z si esprimono linearmente in x, y, s. Infatti, quando si pre- 

 scinde dalla variazione delle curvature, la (4) dà 



d n S i 



ds n 



= u> n Si — w n ~ l i , 



