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« Ora, tornando alla superfìcie, consideriamo un'altra curva, tangente 

 nell'origine all'asse delle y, e distinguiamo con indici 1 e 2 tutto ciò che 

 si riferisce alla prima o alla seconda curva. Siano q x e q 2 i parametri che 

 definiscono le due curve in una rete ortogonale, e siano 



dsi == Qi fyi , ds 2 — Q 2 dq 2 

 gli archi elementari. Posto 



«i = &i + jx=i + k§i , w 2 — i)L 2 — j& 2 -\~ k n 2 , 

 si ha, per la forinola (4), 



Q _. ^ 



. ~òSi ~òS 2 



Affinchè Sì esista occorre e basta che si abbia 



— — o) 2 Sì — j 



(12) 



vale a dire 



VSÌ DlogQ, -òià _ D*SÌ ^logQ 2 



(13) 



Z«2 ) 



Intanto dalle (12) si deduce 

 Ì 2 SÌ 



ì*Si~òS 2 



ed in particolare, per Sì = 0 , la (13) diventa 



, . .ìlpgQi . DlogQ 2 



Il primo membro ha il valore 

 Dunque 



^ìlogQ, _DlogQ 2 

 Noi porremo S r = — s 2 = S. Ciò premesso, la formola (13) si riduce subito a 



e però, se si tien conto della (11), 



1)031 l ^ 1 ni n 



— — — -j- <»! & -f- (ù 2 ( J2 = «i<tì 8 . 



002 c'Si 



È questa l'eguaglianza che chiude in sè le tre formolo di Codazzi, alle quali 

 si perviene osservando che il secondo membro ha, in virtù di (7), il valore 



i j k 

 3ò s q 



