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« Ora mi propongo di dimostrar qui che per affermare la rappresen- 

 tabilità biunivoca di una superficie sopra un piano o sopra 

 una rigata, basta conoscere sulla superficie una rete (sistema 

 lineare oo 2 ) di curve iperellitticbe di genere p = l, colla con- 

 dizione (superflua per p = 1, necessaria negli altri casi ( 1 )), che la serie 

 caratteristica della rete sia non speciale; la rigata (quando ad 

 essa sia identica birazionalmente la superficie) ha in generale il genere j», 

 e sopra di essa le curve della rete sono rappresentate da direttrici ; ma in 

 casi particolari (anche per p ^> 1) enunciati nell'ultimo teorema del presente 

 lavoro, ha il genere 1, e sopra di essa le curve della rete sono rappresen- 

 tate da curve plurisecanti le generatrici. 



« Il teorema sopra enunciato relativo alla superficie con oo 3 curve iper- 

 ellittiche, è un immediato corollario di quello dimostrato nella presente Nota. 



« 1. A base della ricerca, porremo il seguente lemma (che può ricevere 

 svariate applicazioni) : 



« Ogni superficie, la quale contenga una serie semplice- 

 mente infinita, razionale, di curve razionali, può rappresen- 

 tarsi biunivocamente sul piano (è razionale). 



« Se l' indice i della serie (numero delle curve passanti per un punto 

 generico della superficie) vale 1, il teorema è già noto, ed è dovuto al 

 sig. N ò t h e r ( 2 ). A questo caso può sempre ridursi il caso i^>l colla con- 

 siderazione che ora faremo. Si riferiscano biunivocamente gli elementi (curve) 

 della serie razionale sulla superficie F (supposta nello spazio ordinario), ai 

 piani di un fascio, e da un punto fisso generico dello spazio si proietti cia- 

 scuna curva sul piano ad essa corrispondente. L' insieme di tutte le curve 

 proiezioni costituisce una nuova superficie F' che contiene un fascio ( 3 ) ra- 



( J ) La condizione che la serie caratteristica sia non speciale si trova tradotta sotto 

 altra forma sul principio del n° 3. Essa è necessaria; si vede infatti senza difficoltà che 

 se la serie caratteristica della rete è speciale, il genere della superficie (Flachengeschlecht) 

 è in generale superiore a 0, e quindi la superficie non può rappresentarsi nè sopra un 

 piano, nè sopra una rigata. 



( 2 ) Ueber Flàchen ivelche Schaaren rationaler Curven besitzen (Mathem. Annalen, 

 Bd. 3). Il sig. Humbert in una Nota, Sur une classe de surfaces à génératrices rationel- 

 les (Comptes Rendus de l'Ac. d. Sciences, 12 juin 1893) enuncia il teorema: «Se una 

 superficie contiene una serie algebrica (qualsiasi) di curve razionali secantisi a due a 

 due in k (> 0) punti variabili, le coordinate del punto generico sono funzioni razionali di 

 due parametri (e quindi, si può aggiungere, la superficie è riferibile punto per punto ad 

 un piano) ; ma del notevole teorema trovasi solo accennata la dimostrazione nel caso k=l 

 (pel quale si vedrà pure una dimostrazione nella mia Nota, Sulla linearità delle involu- 

 zioni più volte infinite appartenenti ad una curva algebrica. Atti dell'Accad. d. Scienze 

 di Torino, 11 giugno 1893). È da augurarsi che il sig. Humbert pubblichi presto la dimo- 

 strazione del caso generale. 



( 3 ) Per fascio di curve sopra una superficie intendiamo una serie oo 1 (razionale o 

 no) d'indice 1. 



