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zionale di curve razionali, ed è quindi razionale pel citato teorema di Nòther. 

 D'altra parte le superficie F ed F' sono così riferite che ad ogni punto di F 

 (punto comune ad ì curve della serie) corrispondono i punti di F\ mentre 

 ad ogni punto di F' (appartenente ad una curva del fascio) corrisponde un 

 solo punto di F. Dunque i punti di F corrispondono biunivocamente ai 

 gruppi di una involuzione (d'ordine i) giacente sulla superficie razionale F' ; 

 e tanto basta per concludere che F stessa è razionale ('). 



Superficie con una rete di curve ellittiche. 



« 2. Assumiamo ora una superficie F la quale contenga una rete di 

 curve C ellittiche (p = 1). Sopra una curva generica C della rete le rima- 

 nenti curve segano (fuori dei punti base della rete) oo 1 gruppi di un certo 

 numero n di punti, i quali formano ima serie lineare g n \ la serie caratte- 

 ristica della rete. 



« Il minimo valore di n è 2 ; e per n = 2 la questione di cui ci occu- 

 piamo è subito risolta. Se infatti riferiamo proiettivamente gli elementi (curve) 

 della rete alle rette di un piano, veniamo a rappresentare la F sopra un 

 piano doppio. Su questo il luogo dei punti che rappresentano coppie di punti 

 coincidenti della F è una curva {limite) del 4° ordine, perchè ogni retta 

 del piano contata due volte rappresenta una curva ellittica C. È noto d'al- 

 tronde ( 2 ) che un piano doppio con ima quartica limite è razionale, o ecce- 

 zionalmente (se la quartica si spezza in quattro rette di un fascio) riferibile 

 ad una rigata ellittica (della quale due generatrici sono rappresentate da 

 ciascuna retta del fascio). Dunque per n = 2 la F o è razionale, od è rap- 

 presentabile (biunivocamente) sopra una rigata ellittica in guisa che le 

 curve C della rete hanno per imagini curve direttrici (cioè unisecanti le 

 generatrici) della rigata. 



« Veniamo ora al caso generale n > 2. La serie caratteristica g n l gia- 

 cente sulla curva generica C è contenuta in una serie completa g n n ~ l ben 

 determinata di C ; quindi per ciascun punto 0 di C rimane completamente 

 definito un secondo punto 0' di C, il quale con 0 contato n — 1 volte dà 

 un gruppo (n — 1)0 + 0' di g n n ~ l ', ed 0' sarà in generale distinto da 0 

 (a meno che 0 non cada in uno degli ?i 2 punti w.upli della serie). Ora per 

 il punto 0 generico di F passano oo 1 curve C formanti un fascio razionale; 

 se sopra ciascuna di esse costruiamo nel modo anzidetto il punto 0', il luogo 

 di 0' sarà una curva razionale irriduttibile w collegata ad 0, e completa- 



(') Ogni involuzione di gruppi di punti sopra un piano è razionale ; si veda la mia 

 Nota Sulla razionalità delle involuzioni piane (Mathem. Annalen, Bd. 44). 



( 2 ) Clebsch, Ueber den Zusammenhang einer Klasse von Flàchrnabbildungen... (Ma- 

 them. Annalen, Bel. 3) ; Nother, Ueber die ein-zweideutigeii Ebenentransformationen, 

 (Sitzungsber. d. physik. medicin. Soc. zu Erlangen, 1878). 



