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mente definita da 0; e così rimane dimostrata l'esistenza di infinite curve 

 razionali co su F. 



« Facciamo variare 0 sopra una qualsiasi co 0 tra quelle curve razionali, 

 e consideriamo la co collegata con 0. Due casi possono darsi. Infatti o la co 

 varia al variare di 0 e descrive allora una serie oo T di curve t'azionali, 

 serie che è razionai perchè i suoi elementi corrispondono biunivocamente 

 ai punti 0 di co 0 (od ai gruppi di una involuzione situata su co 0 , quando 

 due o più posizioni di 0 avessero come collegata una stessa curva co) ; si può 

 dunque concludere in base al lemma precedente, che la F in tal caso è razionale. 



« Oppure mentre 0 descrive la curva co 0 (generica tra le co), non varia 

 la curva co collegata con 0 (nel qual caso iì sistema delle co si compone 

 di co 1 curve). Accade allora che scelti ad arbitrio un punto 0 su co 0 ed un 

 punto O r su co, sempre (n — 1)0 -f-O r dà un gruppo della serie ben deter- 

 minata g, " -1 giacente su quella curva C della rete che congiunge 0 con 0'. 

 Di qua risulta anzitutto che non può la co coincidere con la w 0 , perchè al- 

 trimenti succederebbe che un punto 0 comunque scelto sopra una curva ellit- 

 tica C insieme ad un punto 0' da esso determinato, darebbe luogo a due 

 gruppi (n — 1)0-1-0', (n — l)0' + 0 entrambi appartenenti ad una stessa 

 serie data g n n ~ l ', mentre ciò è possibile soltanto per particolari posizioni 

 di 0 su C , o di co 0 tra le co 1 co (essendo n ^> 2) ('). 



« E in secondo luogo risulta (poiché dato 0 su C rimane individualo 

 il punto 0'), che la curva co (e quindi ciascuna delle co 1 co) è segata in un 

 sol punto variabile 0' dalle oo 2 curve C della rete. 



« È pur facile (ed in più modi) riconoscere che le oo 1 curve co formano 

 un fascio. Poiché se per un punto generico P di F passassero (almeno) due 

 curve «o , co\ del sistema, partendo col punto mobile 0 da P e seguendo 

 sia la co 0 » sia la w, , la curva co collegata ad 0 non varierebbe (per ipotesi 

 essa retta fissa finché 0 si muove seguendo una tra le ce 1 co) ; dunque la co 

 collegata ai punti di co 0 sarebbe pur collegata ai punti di co x , ossia (per 

 l'arbitrarietà di P) sarebbe collegata a tutti i punti di F, il che contrasta 

 colla definizione delle co. Dunque la superficie F contiene un fascio di curve 

 razionali co segate in un sol punto variabile da ciascuna delle oo 2 curve 

 ellittiche C della rete ; dal che segue ( 2 ) che la superficie F può rappre- 

 sentarsi biunivocamente sopra una rigata ellittica in guisa che alle curve co 

 corrispondano le generatrici, e alla rete di curve C corrisponda sulla rigata 

 una rete di curve direttrici. In fine concludiamo: 



«Una superficie che contenga una rete di curve ellitti- 

 che, o è razionale, o può rappresentarsi biunivocamente s o - 



(') Precisamente detto G un gruppo generico della dalle due relazioni (n— l)0-t-0' 



= (w— 1) O'-tr 0 = G segue n (>i — 2) 0 = (n — 2) G, la quale dice che 0 è punto multiplo 

 secondo n [n — 2) in una ben determinata serie completa d'ordine n (n — 2) giacente su C. 



( 4 ) Notlier, Ueber Flàchen..., 1. c. 



