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pra una rigata ellittica in guisa che alla rete primitiva 

 venga a corrispondere una rete di direttrici della rigata ('). 



Superficie con una rete di curve iperellitliche. 



« 3. Sulla superfìcie F esista questa volta una rete di curve C iperel- 

 littiche di genere p ^> 1, contenenti adunque una determinata serie lineare 

 g % 1 . Noi ci limitiamo al caso in cui la serie caratteristica g n l , segata sulla curva 

 generica C dalle rimanenti, è non speciale (il che esige intanto n — p -+- 1); 

 ora poiché sopra una curva iperellittica le serie speciali sono quelle il cui 

 gruppo generico si compone di v ^kp — 1 coppie della g 2 \ così il caso 

 della g^ 1 non speciale si spezza nei due seguenti : 



« 1) il gruppo generico della serie caratteristica g» 1 non è costituito 

 da coppie della g 2 l ; 



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« 2) il gruppo generico di g n l è costituito da — £È p coppie della g 2 K 



u 



« Occupiamoci intanto della prima ipotesi, la quale ammette una trat- 

 tazione analoga alla precedente. 



« Su ciascuna delle co 1 curve C che passano per un punto 0 generico 

 della F, costruiamo il punto 0' coniugato ad 0 (nella corrispondente g z ]); 

 il luogo di 0' sarà una curva razionale irreduttibile co collegata con 0. 

 Sicché anche nel caso presente esistono su F infinite curve razionali. Fac- 

 ciamo muovere 0 lungo una generica o>„ di esse. Se la curva co collegata 

 ad 0 varia, essa descrive una serie razionale di curve razionali, dal che 

 segue, in virtù del lemma (n. 1), la razionalità di F. Se invece co non varia, 

 essa è collegata a tutti i punti di w 0 , e allora due punti 0, 0' comunque 

 scelti su w 0 , « riescono coniugati nella g 2 l della curva C che li congiunge. 

 Si presenta dunque uno dei due seguenti casi : o le due curve w 0 ed m sono 

 distinte, e ciascuna di esse, come pure ciascuna delle infinite w, è segata in 

 un sol punto variabile dalle C ; oppure le due curve «„ ed w coincidono 

 (ipotesi che non si può più escludere come nel n° precedente), ed allora 

 ciascuna delle m è segata in due punti variabili (coniugati) dalle C. In en- 

 trambi i casi (si dimostra come nel n° precedente) le curve razionali co 

 sono oo 1 e formano un fascio. Ma nel primo caso il fascio di curve co è 

 riferito biunivocamente ad una qualsiasi delle C, e la F può rappresentarsi 

 biunivocamente sopra una rigata iperellittica di genere p, di cui le generatrici 

 corrispondono alle w, ed una rete di curve direttrici corrisponde alla rete 

 delle C. Nel secondo caso invece, il fascio delle w è riferito biunivocamente 



(!) Se F è razionale si vede subito che la rete di curve ellittiche è contenuta in 

 un sistema lineare (normale) oo™ di curve ellittiche di cui due generiche si segano (come 

 due curve della rete) in n punii (n — 9). 



