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alla g 2 1 sopra una qualsiasi C, è dunque razionale, ed in conseguenza è ra- 

 zionale la superficie F. E si può enunciare il teorema : 



« Una superficie la quale contenga una rete di curve 

 iperellittiche (di genere p^>l), rete la cui serie caratteri- 

 stica non sia composta mediante la g» 1 della curva generica, 

 o è razionale, o può rappresentarsi bi univocamente sopra 

 una rigata iperellittica di genere p in guisa che alla rete 

 primitiva venga a corrispondere una rete di direttrici della 

 rigata ('). 



« 4. Veniamo finalmente alla ipotesi 2) che il gruppo generico della 

 serie caratteristica g n x giacente sulla curva generica della rete sia costituito 



n 



da — = v ì=Èkp coppie della g 2 l ; supponiamo in altri termini che il gruppo 



a 



delle n intersezioni variabili di due C sia formato da v coppie della g 2 * 

 giacente su ciascuna delle co 1 C passanti per quel gruppo. Allora due punti 

 coniugati (nella g 2 l ) sopra una C, sono coniugati sopra ognuna delle oo 1 C 

 passanti per essi, e al variare della coppia di punti e della C si ottengono 

 su F oo 2 coppie tali che un punto generico di P appartiene ad una sola 

 di esse. Una superficie i cui punti corrispondano biunivocamente a quelle 

 coppie, è certo razionale, perchè contiene una rete di curve razionali cor- 

 rispondenti alle C. Dunque la I può rappresentarsi sopra un piano doppio 

 in guisa che alle C di F corrispondano curve razionali F formanti una rete; 

 la curva limite A del piano doppio viene segata da ogni curva F in 2p-h2 

 punti variabili ; e le curve F si segano a due a due in v punti variabili. 

 Di qua segue che la rete delle curve razionali r è contenuta in un sistema 

 lineare oo v+1 |.jF.| di curve razionali, le quali (hanno gli stessi punti base 

 della rete, e perciò) si segano ancora a due a due in v punti variabili, se- 

 gano sempre la curva A in 2>p -+- 2 punti variabili, e rappresentano quindi oo v+1 

 curve iperellittiche di genere p della- superficie F. Dunque intanto : 



«Se sopra una superficie F esiste una rete di curve iper- 

 ellittiche di gener e p (^> 1), tale che il gruppo di interse- 

 zioni variabili di due curve generiche della rete sia costi- 

 tuito da v coppie della g 2 l giacente su quelle curve, la rete 

 è contenuta in un sistema lineare co^ 1 di curve iperellit- 

 tiche dello stesso genere secantisi a due a due in v coppie 

 analoghe. 



C 1 ) Se la F è razionale, dalla rappresentazione piana, risulta subito che le curve w 

 formano un fascio ; quindi l' ipotesi delle oo 2 curve w che per prima avevamo discussa, 

 in realtà non può mai presentarsi. Si vede pure che la rete delle C è contenuta in un 

 sistema lineare <x n —v +1 di curve iperellittiche dello stesso genere p, secantisi a due a due 

 in n punti variabili. 



