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« Occupandoci di questioni invariantive per trasformazioni irrazionali, 

 possiamo già ritenere che il sistema lineare \r\ sia ridotto all'ordine mi- 

 nimo, vale a dire (per v > 1 come supporremo) appartenga ad uno dei se- 

 guenti tipi ('): 



« a) sistema delle oo 5 coniche (r = 4) ; 



V —\— S 1 



« b) sistema oo v+I delle curve di ordine (0 = s = v — 1 ) 



Li 



V _|_ g \ 



che hanno un punto base multiplo secondo con s tangenti fisse. 



a 



v — (- 2 v 

 « c) sistema co v+1 delle curve d'ordine — - — con un punto base — -uplo 



u a 



e un punto base semplice. 



« Il caso a) è subito discusso ; la curva limite A essendo segata da 

 una conica generica in 2p -f- 2 punti, vien segata da ogni retta in p -+- 1 

 punti ; ora un tal numero deve' esser pari affinchè una retta generica possa 

 rappresentare doppiamente una curva di F. Se poi ricordiamo la condizione 

 v >.p (della quale non abbiamo tenuto conto finora), vediamo che le sole 

 ipotesi possibili sono 



v = 4 , p = 3 , ordine di A = 4 

 v = 4 , p = 1 » « =2. 



« Ora un piano doppio con conica limite è sempre razionale, e lo è pure 

 un piano doppio con quartica limite, a meno che questa non si spezzi in 

 quattro rette di un fascio; nell'ultimo caso il piano doppio rappresenta una 

 rigata ellittica, e le coniche r rappresentano curve bisecanti le generatrici : 

 dunque nella ipotesi a) la F è in generale razionale, o eccezionalmente riferi- 

 bile biunivocamente ad una rigata ellittica in guisa che alle curve C corrispon- 

 dono curve bisecanti le generatrici (p = 3, v = 4). 



« Passiamo alle ipotesi b) e e); sia 0 il punto base multiplo del sistema \r\; 

 ed h sia il numero delle intersezioni fuori di 0 di una retta generica uscente 

 da 0 colla curva limite A. 



« Se h = 0 la curva A deve spezzarsi in 2^-4-2 rette uscenti da 0 ; 

 allora il piano doppio (e quindi F) rappresenta una rigata iperellittica di ge- 

 nere p, le cui generatrici sono rappresentate a coppie dalle rette per 0 ; ogni 

 curva r del piano (e quindi ogni C di F) corrisponde ad una curva direttrice 

 della rigata. 



u Se h — 1 o 2 una retta generica per 0 contata due volte rappresenta una 

 curva razionale di F variabile in un fascio razionale ; quindi F è razionale. 



« Se h — 3, ogni punto generico del piano infinitamente vicino ad 0 

 deve esser punto limite (affinchè una retta doppia per 0 possa rappresentare una 



(!) Guccia, Generalizzazione di un teorema di Nother (Eendic. Circolo Matem. di 

 Palermo, t. I). 



