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« I sistemi lineari di superfìcie le cui intersezioni variabili sono curve 

 di genere p — 0 , p = 1 , non rientrano in generale in quel tipo (come ivi 

 è osservato), ma per p = 0 la questione si risolve facilmente come è indi- 

 cato in una nota di quel lavoro. Alla considerazione del caso ^ = 1 è de- 

 dicata la presente Nota, nella quale classifico appunto (riducendo a tipi) i 

 sistemi lineari semplici di superfìcie ad intersezioni variabili ellittiche : ven- 

 gono soltanto esclusi quei sistemi semplici (ad intersezioni variabili ellittiche) 

 pei quali tre superfìcie generiche s'incontrano in 3 punti variabili (cioè si- 

 stemi di grado 3); la determinazione di essi dipende dalla risoluzione del 

 problema se la varietà cubica di S 4 , senza punti doppi, sia 

 rappresentabile punto per punto su S 3 (cioè sia razionale) ('). 

 Mi propongo dunque di assegnare e ricondurre a tipi tutti i sistemi li- 

 neari semplici di superficie ad intersezioni variabili ellit- 

 tiche dove tre superficie generiche s'incontrano in n^>3 

 punti variabili (sistemi di grado n^>3): mostrerò come i nominati tipi 

 vengono dati da sistemi di quadriche, di superfìcie cubiche e da un parti- 

 colare sistema di superfìcie del 4° ordine. 



« Più in generale risolvo qui la questione dello studio delle varietà 

 (a 3 dimensioni) a curve sezioni (cogli S„_ 2 in S n ) ellittiche, d'ordine > 3. 

 Esse risultano tutte razionali o contengono un fascio ellittico di piani (ed 

 in quest'ultimo caso non possono essere razionali) ( 2 ). 



« § 1. Una qualunque varietà W a 3 dimensioni d'ordine > 2, di S„, 

 le cui superfìcie sezioni (iperplanari) cogli S„_i sono rigate, contiene un fascio 

 di piani. Per vederlo basta osservare che sulla W si hanno in tale ipotesi oo 1 

 rette per un punto, ed il cono da esse generato ha una retta comune con un 

 iperpiano (S„_i) generico pel punto, e però è un piano. 



« Ciò vale in particolare se la varietà in questione è a curve sezioni 

 ellittiche: perciò le varietà a curve sezioni ellittiche non contenenti un fascio 

 (ellittico) di piani hanno le superfìcie sezioni non rigate, quindi razionali ( 3 ). 



« Consideriamo una varietà W M d'ordine n a curve sezioni ellittiche ed 

 escludiamo che essa contenga un fascio (ellittico) di piani. Supponiamo la 

 W n appartenente ad un S 4 , dove eventualmente può supporsi proiettata da 

 punti esterni. 



( 1 ) Tale questione rimane tuttora insoluta. E però notevole il fatto (che il sig. Noether 

 ha segnalato al sig. Segre per n = 3), che l'equazione generale del 3° grado in n -+- 1 

 variabili può risolversi con funzioni raziunali di n parametri non invertibili, cioè che si 

 possono far corrispondere biunivocamente i punti di una varietà cubica Y n 3 di Sn+i ai 

 gruppi (od anche alle coppie) di una involuzione in S n . 



( 2 ) Giacché dal teorema del sig. Lìiroth relativo alla razionalità delle involuzioni 

 sulla retta (Math. Ann. Bd. 9), segue che un fascio di superficie in S 3 è razionale. (Per 

 fascio di superficie in una varietà si deve intendere un sistema oo 1 di superficie tale che 

 per un punto generico della varietà passi una superficie del sistema). 



( 3 ) Per un teorema del sig. Castelnuovo, Rendic. Accad. dei Lincei. Gennaio 1894. 



