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« Il procedimento indicato dal sig. Castelnuovo per le superfìcie non 

 rigate a sezioni ellittiche ( ] ), si estende subito a questo caso e permette di 

 costruire un (anzi il) sistema lineare oo' 1 ^ 1 di varietà d'ordine n — 2 [ag- 

 giunte alla W n ) seganti ogni piano secondo una curva d'ordine n — 2 ag- 

 giunta alla sezione d'ordine n della varietà ( 2 ). 



« Tali varietà aggiunte segano sulla W un sistema lineare oo' 1 -"- 1 di 

 superfìcie di cui tre generiche si segano in n punti variabili, al quale 

 sistema appartengono le sezioni iperplanari di W". Kiferendo proiettiva- 

 mente gli elementi (superfìcie) del detto sistema agli iperpiani (S„) di S M+ i 

 la W n si trasforma in una varietà normale V", d'ordine n in S n+1 , a curve 

 sezioni ellittiche : la V" risulta così proiettivamente determinata, e per n ^> 3 

 la W n è una sua proiezione da punti esterni, mentre per n = 3 la W" coin- 

 cide colla V n (a meno di trasformazioni proiettive). 



« Se n >■ 3 la V" ,può proiettarsi successivamente, in modo univoco, da 

 n — 3 suoi punti semplici sopra una varietà cubica di S 4 contenente piani 

 (che non è un cono ellittico di 2 a specie), e però è razionale ( 3 ). 



« Dunque : 



« Ogni varietà (di 3 dimensioni) a curve sezioni ellit- 

 tiche, 



1°) o contiene un fascio (ellittico) di piani (ed è irra- 

 zionale); 



2°) o è rappresentabile punto per punto sulla varietà 

 cubica di S 4 , ed in questo caso è certo razionale se ha l'or- 

 dine >3. 



« Il teorema si estende alle varietà con più di 3 dimensioni. 



« § 2. Data in S„ una varietà (di 3 dimensioni) W n a curve sezioni ellit- 

 tiche d'ordine n ^> 3 , non contenente un fascio di piani, abbiam visto che 

 essa può proiettarsi (da punti esterni) in una varietà di S 4 la quale è alla 

 sua volta proiezione d'una varietà normale V" d'ordine n di un S n+1 : pel 

 nostro scopo occorre ancora stabilire che la W è essa pure proiezione della 

 medesima varietà V" o di una ad essa proiettiva (occorre cioè stabilire che 

 la varietà normale V" di cui è data una proiezione, resta così proiettiva- 

 mente determinata) ; invero è soltanto a questo patto che potremo affermare 



(!) L. c. La possibilità di questa estensione e quindi la possibilità di considerare 

 le W n come proiezioni delle varietà normali Y a di S»+i fu vista dal sig. Castelnuovo, 

 che me ne suggerì lo studio. 



( 2 ) Si potrebbe vedere (ma qui non occorre) che le nominate varietà d'ordine n — 2 

 sono effettivamente aggiunte alla W n nel senso stabilito dal sig. Noether (Math. Ann. 

 Bd. 2, 8). 



( 3 ) Cfr. Segre Sulle varietà cubiche della spazio a 4 dimensioni ecc. (Accad. di 

 Torino. Memorie 1888). — Sulle varietà cubiche contenenti piani (e segnatamente su quella 

 che ne contiene 10) cfr. anche Segre, Atti Accad. di Torino 1887 e Castelnuovo, Atti 

 Istituto Veneto 1888-1891. 



