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che un sistema lineare semplice di superficie ad intersezioni variabili ellit- 

 tiche in S 3 rappresentativo di W'\ è contenuto in un sistema che rappre- 

 senta la varietà normale V". La questione di cui qui si tratta fa parte di 

 una questione generale analoga a quella che è stata risoluta dal sig. Segre 

 per le curve e per le superficie rigate ('), e da me per tutte le superficie ( 2 ). 

 Non è qui il luogo di trattare la questione generale (che pure può risolversi 

 affermativamente): basterà che trattiamo il caso che ci riguarda. 



« A tal fine occorre dimostrare che sopra una varietà W/ 1 d'ordine n 

 di S 4 , proiezione della Wi n , una superficie d'ordine n la quale appartenga ad 

 un sistema lineare di superficie contenente quello delle sezioni iperplanari 

 di Wi" , è la sezione di W x n (fuori della superficie multipla) con una va- 

 rietà aggiunta d'ordine n — 2 : infatti ciò significa che il sistema delle su- 

 perficie sezioni iperplanari di W n è contenuto in quello delle sezioni iper- 

 planari della V" costruita nel precedente §. 



« Ora si osservi che la nostra superficie F, per le condizioni poste, sega 

 ogni curva C sezione piana di in un gruppo di n punti intersezione di 

 una curva d'ordine n — 2 aggiunta alla C (giacché le nominate curve aggiunte 

 determinano sulla C la serie completa contenente quella segata dalle rette): 

 facendo variare il piano della C per una retta generica di S 4 , la nominata 

 curva aggiunta descrive una varietà d'ordine n — 2 aggiunta alla , di 

 cui la F è sezione ( 3 ) cdd. 



« § 3. Ciò posto noi dobbiamo rivolgerci allo studio delle varietà nor- 

 mali V n d'ordine n ^> 3 in S n +i a curve sezioni ellittiche (non contenenti 

 un fascio di piani e però) razionali: rappresentandole sopra S 3 punto per 

 punto, i sistemi di superficie rappresentativi (costituiti dalle immagini delle 

 sezioni iperplanari di V"), e quelli in essi contenuti, ci forniranno i tipi ri- 

 chiesti. Per brevità parlando di una V" intenderemo che essa sia una va- 

 rietà soddisfacente alle condizioni enunciate. 



« Sebbene il procedimento adoperato sia il medesimo, conviene tener di- 

 stinto il caso delle varietà V" d'ordine n ^> 4 da quello delle V 4 . 



« Per quest'ultime si noti anzitutto che esse sono intersezione completa 

 di due quadriche (varietà base di un fascio di quadriche). Invero una quar- 

 tica C sezione con un S 3 della V 4 è base per un fascio di superficie quadriche 

 di S 3 : un S 4 per lo S 3 sega V 4 secondo una superficie F (a sezioni nor- 

 mali) per la quale passano tante quadriche di 3 dimensioni quante superfìcie 

 quadriche passano per una sezione ( 4 ), in altre parole vi è una quadrica di 

 S 4 contenente tanto la F quanto una superficie quadrica per C in S 3 ; va- 



(') Malli. Ann. Bd. 33-34. 



( 2 ) Ricerche eli geometria sulle superficie algebriche. Accad. di Torino. Memorie 1893. 



( 3 ) Cfr. le mie Ricerche ecc. 1. c. cap. II, § 1, pag. 22. 



( 4 ) V. le mie Ricerche ecc. 1. c. cap. V, •§ 4, pag. 59. 



