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riandò lo S 4 per S 3 il luogo delle nominate quadriche di 3 dimensioni pas- 

 santi per una stessa superficie di 2° ordine di S 3 è una quadrica di S 5 

 passante per la medesima superfìcie del 2° ordine e contenente la V 4 : la V 4 

 appartiene dunque alle quadriche d'un fascio in S 5 ('). 



« Se gli elementi (punti) di una di queste quadriche sono le rette dello 

 spazio ordinario, la V 4 è un complesso quadratico di rette. La sua rappre- 

 sentazione su S 3 è nota ( 2 ). 



« Per ottenerla nel modo più semplice si può notare che ad una super- 

 fìcie F sezione generica della V 4 (intersezione di due quadriche di S 4 ) appar- 

 tiene sempre almeno una retta (anzi 16 rette distinte se F non ha punti 

 doppi ed almeno 4 rette, distinte o no, per il punto doppio, se la F pos- 

 siede un punto doppio) : da una di queste rette a la F viene proiettata uni- 

 vocamente sopra un piano, giacché due quadriche per la F segano un piano 

 generico per «, fuori di a, in due rette non passanti per uno stesso punto di 

 a, Don essendo F rigata ( 3 ). 



« Perciò proiettando la V 4 di S 5 da una tale retta a sopra un S 3 (con- 

 tenuto nel suo S 5 ) si ottiene la rappresentazione univoca della V 4 su S 3 . In 

 questa rappresentazione le immagini delle sezioni iperplanari della V 4 sono 

 le superfìcie cubiche L proiezioni delle sezioni stesse dal punto comune ad 

 a e al loro iperpiano ; le immagini delle quartiche sezioni sono le quartiche 

 proiezioni di esse da a ; quindi le superfìcie cubiche L hanno comune una 

 quintica base k. In luogo di proiettare la V 4 da a è lo stesso proiettarla 

 prima da un punto 0 di a in una V 3 di S 4 , e quindi proiettare Y 3 su S 3 

 dal punto doppio corrispondente ad a. Si vede così come alla retta a corri- 

 sponda nello S 3 rappresentativo una quadrica Q contenente la quintica k base 

 pel sistema delle L (la quale può eventualmente spezzarsi) : si vede inoltre 

 come al centro di proiezione 0 (che è un punto generico di a) corrisponda 

 una retta di questa quadrica che insieme alla k costituisce una sestica in- 

 tersezione della quadrica Q con le superfìcie cubiche non spezzate costituenti 

 il sistema rappresentativo della V 3 . 



( x ) Questa dimostrazione si estende e permette in generale di stabilire che per una 

 varietà di k dimensioni a curve sezioni normali, (cogli $ n -k+i in S re \ passano tante 

 quadriche di S«, (linearmente indipendenti) quante quadriche di S tl -h+-. passano per una 

 sua curva sezione generica. Pel caso della Y 4 il fatto stabilito segue anche dall'osserva- 

 zione che la V" vien proiettata da un punto in una V 3 di S 4 (Segre, Accad. Tor. Me- 

 morie, 1. e). 



( 2 ) Si veda l'aggiunta del sig. Klein alla fine di una Nota Zur Theorie der alge- 

 braischen Functionen mehrerer complexen Variabeln, del sig. Nother (Gottinger Na- 

 chrichten, 1869); cfr. pure Caporali, Sui complessi e sulle congruenze di 2° grado. Me 

 morie dell'Accad. dei Lincei 1877-78. 



( 3 ) Siffatta rappresentazione di una tale superficie F è stata data dal sig. Segre, 

 Math. Ann. Bd. 24. 



