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« Dunque: 



« a) La V 4 può rappresentarsi su S 3 mediante il sistema lineare oo 5 

 di superficie cubiche che ha una quintica base di genere virtuale due, inter- 

 sezione parziale di una quadrica (spezzata o no) con una superficie cubica 

 non spezzata. Una tale quintica base individua sempre da sola il sistema 

 rappresentativo della V 5 (purché per certe degenerazioni molto singolari di 

 essa s'intenda convenientemente il passaggio per essa delle superficie cubiche). 



« § 4. Procediamo a considerare le varietà V w d'ordine n > 4. 



« Una superficie P sezione della V n con un iperpiano generico è razio- 

 nale e può rappresentarsi sul piano 



1°) o con un sistema lineare di cubiche avente 9 — n punti base 



in < 9); 



2°) o, per n ~ 8, anche con un sistema lineare di quartiche con due 

 punti base doppi ('). 



« Le due specie di superficie F corrispondenti ai due modi di rappre- 

 sentazione indicati, danno luogo a due specie di varietà V" (dove n <. 9) che 

 diremo risp. di l a e 2 a specie. 



« Consideriamo dapprima le V" di 1 a specie. E osserviamo anzitutto 

 che su V n si può scegliere (in infiniti modi) una curva irreduttibile C d'or- 

 dine n — 3, razionale normale in S M - 3 , dalla quale la V" viene proiettata uni- 

 vocamente sopra un S 3 (contenuto nello S n+1 di V"); basta infatti conside- 

 rare sopra una superficie P sezione iperplanare generica di V", la curva C 

 rappresentata da una delle oo"- 4 coniche del piano rappresentativo di P pas- 

 santi pei 9 — n punti base delle cubiche immagini delle sue curve sezioni ; 

 invero da una tale C la P viene proiettata univocamente sopra un piano, e 

 quindi altrettanto avviene per ogni altra sezione iperplanare generica di V n 

 per essa. Si noti ancora che l'immagine della curva C sul piano rappresen- 

 tativo di P, su cui F è rappresentata per proiezione (da C), deve essere una 

 conica irreduttibile se n ^> 6 affinchè la C sia irreduttibile ; invece per n <. 6 

 ogni conica di quel piano pei 9 — n punti base del sistema rappresentativo 

 di F potrebbe essere spezzata in una retta fondamentale ed in un'altra 

 retta qualunque, dove quest'ultima rappresenterebbe una C irreduttibile su F. 



« Proiettando la V n sopra un S 3 di S n+Ì dalla curva C scelta su di 

 essa, si ottiene la rappresentazione punto per punto di Y n su S 3 ; le sezioni 

 iperplanari di V" per C vengono proiettate univocamente sui piani di S 3 ; 

 le sezioni iperplanari generiche di V" vengono proiettate (ciascuna dagli 

 n — 3 punti che essa ha su C) in superficie cubiche L ; le curve sezioni di 

 Y n , d'ordine n , vengono proiettate da C in curve d'ordine n intersezioni 



(!) Del Pezzo, Sulle superficie dello n° ordine immerse nello spazio di n dimensioni. 

 Circolo Matematico di Palermo t. I. Cfr. anche Guccia, Sulla riduzione dei sistemi li- 

 neari di curve ellittiche ecc. (ibidem). 



