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mite a cui tendono le espressioni r— - , ;— r quando m cresce indefi- 



m -\- 1 m-\-l 



nitamente, si trova facilmente per la prima espressione 



lira — 7—7- = 0 , qualunque sia u 

 m -j- 1 



Per la seconda invece bisogna distinguere i valori di u espressi da u = 2/m , 

 dove k è un numero intero 0 nullo, dagli altri valori. Se u — 2ìm si ha 



lim — 7— == 1 , mentre lim — - = 0 , per gli altri valori. 



m-f-1 m-\-l 



Se si pone 



a' = sen ó -j- sen (ó -j- u) -f- sen (d -f- 2u) + • • • + sen + ««) 

 /S' = cos ó -|- cos -j- u) -f- cos (cJ -j- 2^) — j— . . . -f- cos -j- mu) 

 sarà a' = /? sen ó -\- a cos ó , /?' — /? cos ó — a sen ó , e quindi 



lim — ^7— - = sen ó , lini — ^— - = cos ó , per u — 2kn 

 m-f-1 m-f-1 



lim ; — r = 0 , lim — - = 0 , per gli altri valori di u . 



Ciò premesso poniamo 



Ìb+ic . /-> b+ic 



i=m I 

 sen (Xt + ó)dt , j? = ^_ cos (A* -f J)c^ 

 f-ic ^"Ua+ic 



dove m sia un numero intero positivo finito, X sia diversa da zero, a, b ,c ,S 

 siano quantità finite qualunque, escluso però il caso c — b — a , che ridur- 

 rebbe le espressioni ad un solo integrale. Cerchiamo i valori di 



£ Ti 



l — lim ; — — e di L = lim -r- — per lim . m = 00 



m-f-1 m-f-1 



Sviluppate le integrazioni e tenuto conto delle forinole superiori, si trova 

 4=j < cos (Xa -f- à) — cos (Xb S) j , l c = ^ jsen (Àè-f-^) — sen(Aa-f-J)j , 



per — 2/for . Invece 4 = 0,4 = 0, per gli altri valori di Xc. 



Se X = 0 , mantenute le condizioni superiori per le altre quantità, si ha, 

 com'è d'altronde evidente, 



U — {b — a) sen d , l c = (b — a) cos e? 



Da questi risultati, ponendo per brevità 



P s = sen (Xt -f- ò) cos (W -f- y 0 ) , P c = cos (Xt -j- cos (w/ -j- y 0 ) 



/~> 6+ic /"» b+ic 



m I m I 



z = y \ p s dt , 0 = y p c dt 



