— 536 — 



Matematica. — Ancora sui sistemi lineari di superficie alge- 

 briche le cui intersezioni variabili sono curve ellittiche (')• Nota 

 di Federigo Enriques, presentata dal Socio Cremona. 



« § 1. Procediamo alla determinazione di tutti i sistemi lineari di super- 

 ficie cubiche L ad intersezioni variabili ellittiche, che nascono dalla rappre- 

 sentazione delle varietà normali V" d'ordine n >> 4, e di l a specie, ove la V n 

 sia rappresentata proiettandola da una sua curva irreduttibile razionale nor- 

 male C d'ordine n — 3: tali sistemi sono completamente definiti dal gruppo 

 base perchè rappresentativi di varietà normali. 



« E opportuno avvertire che i nominati sistemi non saranno tutti i sistemi 

 di superficie cubiche rappresentativi d'una V n , ma ogni altro sistema di su- 

 perficie cubiche (o d'ordine diverso) rappresentativo di una V™ dovrà ricon- 

 dursi ad uno di essi con una trasformazione birazionale dello spazio. 



« Inoltre se vorremo ottenere veramente sistemi tipici irreducibili fra 

 loro per una trasformazione birazionale dello spazio, dovremo vedere se le dif- 

 ferenze nei sistemi ottenuti dalla proiezione indicata di varietà V n , proven- 

 gano da differenti proprietà proiettive delle V" stesse, o dalla differente scelta 

 della curva proiettante C su di esse. Nel 2° caso si dovrà considerare uno 

 solo degli ottenuti sistemi di superficie L come il tipo di una classe di si- 

 stemi di superficie ad intersezioni ellittiche (di dimensione n -f- 1 e grado n). 



« § 2. Premettiamo alcuni lemmi. 



« 1° lemma. Sopra la varietà di l a specie V", per una sua curva ge- 

 nerica irreduttibile C razionale normale d'ordine n — 3, 



o non passa alcun S„_ 2 segante Y n secondo una superficie, 



o passa un S n _ 2 segante V" secondo una superficie d'ordine n — 3. 



« Nel 2° caso gli iperpiani per lo S„_ 2 segano V" (fuori di esso) secondo 

 rigate cubiche normali (ciascuna in un S 4 ). 



a Invero poiché lo S„_ 3 della C non sega ulteriormente V n , ove esista 

 una superficie su V n giacente in un S„_ 2 per C, essa sega lo S„_ 3 di C secondo 

 la C e però ha l'ordine uguale ad n — 3 ; altrimenti quest'ordine « n) sa- 

 rebbe multiplo di n — 3 (dove n ^> 4), onde sarebbe n = 5 e gli iperpiani 

 per lo S M _2 segherebbero su V" infiniti piani (ciò che è assurdo). Analoga- 

 mente si vede che per C non possono passare due S„_ 2 seganti V" ciascuno 

 secondo una superficie d'ordine n — 3, perchè lo S n _i da essi determinato 

 segherebbe V" secondo una superficie (composta) d'ordine « n uguale a) 

 2{n — 3) (dove n ^> 4) onde n = 5, e su V" si avrebbe un fascio di piani. 



(!) Cfr. la Nota precedente pag. 481. 



