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« Infine se su V" vi è una superficie d'ordine n — 3 in un S„_ 2 per C, 

 gli iperpiani per essa segano V" (fuori dello S„_ 2 ) secondo superficie cubiche 

 ciascuna normale in un S 4 (quindi rigata) : in caso opposto sopra una super- 

 ficie sezione di V" (superficie razionale normale a sezioni ellittiche in S n ) si 

 avrebbero infinite cubiche piane, ciò che è assurdo ('). 



« § 3. 2° lemma. Proiettando una varietà V n di l a specie da una sua 

 curva C (irreduttibile, razionale normale d'ordine n — 3) sopra un S 3 , il 

 sistema delle superficie cubiche L ottenute come immagini delle sezioni iper- 

 pianali di V" 



« 1°) è determinato dalla curva base K (d'ordine 9 — n) e non ha punti 

 base doppi, se per C non passa un S n _ 2 segante V" secondo una superficie; 



« 2°) nel caso opposto ha, oltre la curva base K, un punto doppio 

 0 (7 — n -f- £>)plo per la K dove q = 0, 1, 2 : in ogni piano per 0 vi sono 

 allora q punti base per le L infinitamente vicini ad 0. 



« Suppongasi che il sistema delle L non sia determinato dalla curva 

 base K: (allora poiché esso è determinato dal gruppo base rappresentando 

 una varietà normale), vi è almeno un punto base per le L che impone ad 

 esse nuove condizioni non espresse dal passaggio per K : un tal punto può essere 



« 1) un punto base (multiplo cioè) doppio per le L la cui moltepli- 

 cità non risulti dal passaggio per esso della K ; 



« 2) un punto base per le L fuori di K ; 



« 3) un punto base semplice per le L e per K nel quale sia assegnata 

 una tangente diversa dalla tangente in K e quindi sia fissato il piano tan- 

 gente alle L ; 



« 4) un punto base 0 doppio per le L la cui molteplicità risulti dal 

 passaggio per esso di K, ma in cui sia assegnata una ulteriore tangente per 

 le L (allora K avrà in 0 un punto triplo o quadruplo e nell'ultimo caso, pos- 

 sibile soltanto per n ■— 5, l'ulteriore tangente fisserà il cono quadrico tan- 

 gente in 0 alle L). 



« Allora i piani per 0 sono immagini di superficie sezioni parziali di V" 

 d'ordine <Cn, e quindi per C passa un S n _ 2 ecc. 



« Alla stessa conclusione si perviene supponendo l'esistenza d'un punto 0 

 base doppio per le L che sia conseguenza della curva base K, osservando che 

 un tal punto 0 deve esser triplo o quadruplo per la K e che l'ultimo caso 

 (possibile solo per n = 5) deve escludersi giacché 4 rette per un punto non 

 possono costituire la curva base K determinante da sola un sistema co 6 di L 

 (passando per essaoo 7 superficie cubiche). 



« Così è stabilita la l a parte dell'enunciato. 



« Per stabilire la 2 a si noti che lo S„_ 2 per C segante V" secondo una 

 superficie (supposto esistente) determina sullo S 3 rappresentativo un punto 0 



Invero si proietti la superficie in una del 4° ordine in S 4 ; se su questa vi è una 

 cubica piana, vi sono anche infinite rette sezioni degli S 3 per essa. 



