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siffatto che ogni piano per 0 è immagine d'una rigata cubica normale su V n : 

 sopra un tal piano le L segano dunque un sistema di cubiche avente un 

 punto base doppio e due semplici; il punto base doppio (è fisso al variare 

 del piano per 0 ossia) cade in 0, infatti dall'ipotesi opposta si trarrebbe che 

 esso descrive una retta base doppia per le L e ne seguirebbe che le inter- 

 sezioni variabili di due L (immagini di curve sezioni di V") sarebbero razio- 

 nali, non ellittiche come si suppone. 



« Segue che il punto 0 è doppio per le L e (7 — n -f- £>)plo per la curva 

 base K dove ecc., come è stato enunciato. 



« Osservazione. — Giova inoltre notare che se q = 1, il punto 0 è 

 biplanare per le L e si ha in esso un piano osculatore fisso; questo si stacca 

 dalla quadrica Q residua di ciascun piano rispetto al sistema delle L, quindi 

 (Nota I, § 4) uno dei piani componenti Q contiene una cubica piana facente 

 parte di K, e si ha n <. 6. 



« § 4. I precedenti lemmi fissano i limiti della discussione che dobbiamo 

 compiere : vi sono 4 casi da esaminare per ogni valore di n, cioè il caso in 

 cui il sistema delle L è determinato dalla curva base K, e quello in cui vi 

 è inoltre un punto base doppio per le L e (7 — ?z)plo, o (8 — %)plo, o 

 (9 — rì)p\o per la K (d'ordine 9 — ri). 



« Cominciamo dall'ultimo caso che dà luogo a soluzioni del problema 

 per ogni valore di n (<. 9). 



« b) La curva base K si compone di 9 — n rette per un punto base 

 doppio 0 nel quale è assegnato il cono quadrico tangente alle superficie cu- 

 biche L. 



« Da questa condizione nasce effettivamente (per n ==• 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 

 un sistema oo n+1 di superficie cubiche L rappresentativo d'una V", e per 

 n > 3 nasce dalla effettuata proiezione della V" da una sua curva C : per 

 n = 4 il sistema rientra come caso particolare in quello a) del § 3 Nota I. 

 La varietà V" così rappresentata è un cono cioè ha oo 2 rette per un punto, 

 aventi per immagini le rette per 0 dello S 3 rappresentativo: lo si verifi- 

 cherà osservando che la sezione con V" di un iperpiano per una tal retta è 

 un cono giacché una L contenente una retta generica per 0 (nello S 3 rap- 

 presentativo) è un cono cubico. Parimenti è facile vedere che proiettando un 

 cono V" da una qualunque sua curva C (d'ordine n — 3 ecc.) si ottiene 

 sempre come sistema rappresentativo di V" il sistema b) ( l ). 



« Infine si osservi che il cono quadrico tangente in 0 alle L è la qua- 

 drica Q residua di ciascun piano rispetto al sistema, quindi può supporsi 

 irreduttibile (tale essendo la C) per n >> 6 (Nota I, § 4). 



« § 5. Escludendo le V" che sono coni, restano ancora 3 casi da esa- 

 minare partitamente per ogni valore di n. 



( l ) Donde segue subito la sua irreducibilità agli altri che verremo trovando, 



