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« d") Il sistema delle L ha (oltre la curva base K) un punto base 

 doppio 0, che è pure ctonio per la cubica base K ; ed inoltre le L hanno 

 in 0 (punto biplanare) un piano osculatore fisso. Allora (§ 3 Osservazione) 

 la Iv è una cubica piana (certo non appartenente al piano osculatore). Un 

 siffatto gruppo base determina effettivamente un sistema oo 7 di L rappre- 

 sentativo d'una V G , e nascente dalla proiezione di V 6 da una sua cubica C. 



« I sistemi d) d') d") sono irreducibili fra loro, perchè le V 6 rappre- 

 sentate sono proiettivamente distinte. Per convincersene basta notare che nel 

 1° caso non si hanno mai reti (') di rigate cubiche su V 6 ; nel 2° se ne ha due 

 reti, e una superficie rigata d'una rete compone una sezione iperplanare di V 6 

 insieme ad una superficie rigata dell'altra non mai insieme ad una super- 

 ficie della stessa rete ; nel 3° caso la V 6 possiede una sola rete di rigate cu- 

 biche, dove due rigate compongono una sezione iperplanare di V tì . 



« § 7. Sia n ^> 6. Notando che una curva base d'ordine <C3 non può 

 mai individuare una quadrica che la contiene, nè quindi un sistema oo" +1 

 di L, e ricordando l'osservazione posta in fine al § 3, si ha che, escludendo 

 i sistemi rappresentativi di coni, è da esaminare soltanto il caso dei sistemi 

 di L con punto base doppio (7 — «)plo per la curva base K. 



* È quindi n 7 ossia n — 1. 



« e) Il sistema co 8 di superfìcie cubiche L con conica base e punto 

 base doppio fuori di esso (unico sistema che nasce dall' ipotesi precedente), 

 rappresenta effettivamente una V 7 che non è un cono, ove questa sia proiet- 

 tata ecc. In esso la conica base è irreduttibile tale essendo la curva proiet- 

 tante C, perchè (per n > 6) è irreduttibile la quadrica Q residua di ciascun 

 piano rispetto al sistema, cioè il cono quadrico proiettante da 0 la conica. 



u II nominato sistema di L si riconduce con una trasformazione quadra- 

 tica al sistema delle- quadriche passanti per un punto. 



« Per n^>7 le varietà V" di l a specie sono coni. 



« Così è esaurito l'esame delle varietà normali V" di l a specie. 



« § 8. Rimane ora la considerazione delle varietà V 8 di 2* specie, pre- 

 cedentemente escluse ( 2 ). 



« Ad una superficie sezione iperplanare generica di V 8 appartengono oo 3 

 quartiche razionali normali da ciascuna delle quali la superficie può proiet- 



(') Col nome di rete di superficie designarne (come di solito) un sistema lineare gc* 

 di superficie sulla varietà (per due punti generici di questa passa una superficie della rete). 



( 2 ) Nel citato lavoro del sig. Del Pezzo (v. Nota I) si trova considerata la V 8 di 2 a 

 specie rappresentata su S a dal sistema delle quadriche (e qualche altra Y n di l a specie 

 costruita partendo da particolari sistemi di superfìcie cubiche compresi tra quelli da noi 

 enumerati): ivi è pure enunciato (senza dimostrazione) che la V 8 di 2 1 specie è sempre 

 rappresentabile col sistema delle quadriche di S 3 ; questo fatto si troverà dimostrato in 

 questo §, escluso che la V 8 sia un cono, restrizione che evidentemente il detto autore ha 

 tacitamente supposta, 



