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§ 1. 



« Partiamo dalla costruzione fondamentale data a pag. 300 delle Lesioni, 

 colla quale da una deformazione infinitesima nota di una superfìcie qualunque 

 S si deduce la corrispondente congruenza W, di cui S è una falda della su- 

 perfìcie focale. La costruzione consiste nel condurre per ogni punto P di S 

 nel piano tangente il raggio normale alla direzione dello spostamento che su- 

 bisce P; la congruenza di raggi così ottenuta è la congruenza W cercata. 

 La seconda falda Si della superfìcie focale si dirà la trasformata di S me- 

 diante la deformazione infinitesima considerata. 



« Ciò premesso, ci proponiamo di dimostrare il teorema seguente: 

 k A) Di una superficie S qualunque si considerino due di- 

 verse deformazioni infinitesime, per le quali si costrui- 

 scano, nel modo descritto, le rispettive superficie trasfor- 

 mate Si,S 2 . Esiste una semplice infinità di superficie S', de- 

 ducibile con una sola quadratura, ciascuna delle quali am- 

 mette, come la Si, la medesima coppia fissa Si, S 2 di super- 

 ficie trasformate. 



« Osserviamo che se P, Pi, P 2 , P' indicano quattro punti corrispondenti 

 delle quattro superficie S, S u S 2 , S', la doppia infinità di quadrilateri sghembi 

 PPi P'P 2 è così formata che ciascun lato descrive una congruenza W, di 

 cui i fuochi sono i due vertici sul lato, mentre i piani focali passano rispet- 

 tivamente pei due lati consecutivi. 



§ 2. 



« Per dimostrare il teorema enunciato, riferiamo la superficie S alle 

 sue linee assintotiche u, v colle formole di Lelieuvre (Lesioni pag. 297) : 



(1) 





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£ r; 







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dove £, t], g sono soluzioni di una medesima equazione di Laplace 



D 2 0 



(2) 



M.6 , 



che è altresì l'equazione delle deformazioni infinitesime per la superficie S. 



