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« Se avessimo voluto parlare soltanto delle mutue relazioni fra le quattro 

 equazioni di Laplace 



«. = M,,-^ = M , S ,^ = M ! ».^ = M>, 



~òu~òv \ ~òu ~òv ' l)ul)v 7)w 



bastava semplicemente dare le formo! e del presente §. Ma ciò non avrebbe 

 fatto conoscere che incompletamente le relazioni geometriche espresse dal teo- 

 rema A). 



§ 5. 



« Il teorema generale A) consente varie applicazioni sulle quali mi pro- 

 pongo di ritornare in seguito. Per ora mi limiterò a darne una che riguarda 

 quelle congruenze W, le cui falde focali hanno in punti corrispondenti eguale 

 curvatura. Di queste congruenze ho trattato distesamente nel T. XVIII (1890). 

 degli Annali di matematica e a pag. 313 e segg. del libro. Le superficie focali 

 di una tale congruenza godono della proprietà caratteristica che la loro cur- 

 vatura K, espressa pei parametri u, v delle linee assintotiche, prende la forma 



* Viceversa ogni tale superficie appartiene, come superficie focale, a una 

 doppia infinità di tali congruenze W, la cui ricerca dipende dalla integra- 

 zione di un'equazione di Riccati. Ora supponiamo che le coppie (S, Si), (S, S 2 ) 

 del teorema A) costituiscano appunto le falde focali di due tali congruenze 

 W. Mentre nel caso generale la quadratura indicata nell'enunciato del teorema 

 non sembra possa evitarsi, qui invece possiamo ottenere la superficie S' in 

 termini finiti, perchè sussiste la proprietà seguente: 



« B) Fra le oo 1 superficie S' ve ne ha, oltre S, una ed una 

 soltanto S 3 , che ha in ogni suo punto la curvatura comune 

 di S, Si, S-2 nei punti corrispondenti. 



« In tal caso le quattro congruenze W descritte dai quattro lati del qua- 

 drilatero P P : P 3 P 2 appartengono tutte alla classe speciale di cui qui ci oc- 

 cupiamo. Come si vede, è questa un'estensione del teorema di permutabilità 

 per le congruenze o superficie pseudosferiche, teorema che risulterà così alla 

 sua volta nuovamente dimostrato. 



§ 6. 



« Che la superficie S 3 del teorema B), ove esista, sia unica e determinata, 

 risulta subito dal quadrare e sommare le tre forinole 



(18) h = f + X (£, - h), r l3 ■= >; + X ( Vl - rj t ) , £ 3 ■= £ + X (f x - &) , 



