R. LOBATTO. REMARQUES SUR UNE FORMULE DE M. E. REBOUL. 59 



La première série renfermée entre les crochets peut être rem- 

 placée par celle-ci 



a 0 b t a t b 2 a 2 b z 



4- etc. 



V r r 2 r- 3 ) > 



d'où Ton conclut sans peine que la première partie de la valeur 

 de X pourra être représentée sous la forme 



Mr f" 1 . BA-i — AB{ 



(lo 



BA-i indiquant le prix d'une rente viagère 1 relative aux âges 

 a_i et b. Quant à la seconde partie , en l'écrivant sous la forme 



N L N / " \ (a, — a 2 ) (bi — b 2 ) ( 

 \ao — ai) (b Q — b,) + i-L- — l + etc.j 



a 0 b 



il est aisé de s'assurer qu'elle exprime la quantité 



N jl + (r + 1) AB- r BA-, 4- ~ 



Prenant la somme , on obtiendra 



X= iV+ (iV (r + 1) — Mr) ^5 + (M — iV) r £=1 A #_j — iVr — 4 5 _ x . 



Il reste maintenant à rechercher les limites vers lesquelles les 

 coefficients M, N convergent , à mesure que les intervalles de 

 temps deviennent plus nombreux , ou bien lorsque le nombre t 



augmente indéfiniment. Pour y parvenir 7 faisons t = - , donc 

 ç = V r r z \ on a d'abord 



1 — 1\ r — 1 



1 Vy - 1\ 

 ir \ g — 1 / 



r r z — 1 



La supposition t =± co donne ^ = 0, et puisque M prend alors 



la forme indéterminée -, on trouvera, en recourant au calcul 



0 



r i \ 



différentiel ; M — pour la valeur limite de 31. 



r log. r 



